16 
G\, L x , Lj, Gj 
plochy B příslušejí po řadě body 
M x , H x , H It M I 
takže jest vzhledem ku větě Ivory-ho pro elliptické paraboloidy obecně 
dokázané applikované na páry příslušných si bodů G x M x , Lj Hj, 
G± Hj = M x Lj. (1) 
V karakteristické afiinitě elliptických paraboloidu C, C* přísluší bodům 
G x , M x , Mj, Gj na C po řadě. body L x , H Hj, Lj na C * takže dle věty Ivory-ho 
použité vzhledem k párům příslušných si bodů M x H 1: Gj Lj platí rovnost 
M\ Lj — H x Gj . (2). 
Srovná me-1 i (1) a (2) obdržíme rovnost 
G, Hj = Hj Gj 
kterou jest věta Ivory-ho i pro hyperbolický paraboloid obecně dokázána- 
15 Tím se věta tato dokázala nezávisle na úsečkách, které si v plochách 
těch affinně odpovídají. Právě naopak můžeme pomocí věty Ivory-ho 
dokázati rovnost takových úseček, tedy opět, aniž bychom potřebovali 
útvary zde se vyskytující algebraicky vyjadřovati. Budtež totiž l x , l z dvě 
libovolné sobě příslušné přímky a A x , Aj libovolné dva sobě příslušné 
body. Sestrojme v rovině Ajl x trojúhelník rovnoramenný A-jB^Cj, jehož 
základna B x , C x leží na přímce l x . Ježto A I B l = A 1 B I , A I C 1 = A 1 C I 
proto bude trojúhelník A 1 B 1 C I též rovnoramenný. Pata D x výšky s A f 
v prvém trojúhelníku přísluší affinně patě Dj výšky s A x v trojúhelníku 
druhém, protože obě půlí příslušné si úsečky B X C X , BjCj ; dále musí 
Aj D x = A x Dj dle věty Ivory-ho; proto jsou pravoúhlé trojúhelníky 
A x Bj Dj, Aj B x D x shodné, následkem čehož Bj Dj = B x D v Z toho soudíme, 
že příslušné řady bodové na l x a lj jsou vůbec shodné, čímž jest správnost 
věty o stejných sobě příslušných úsečkách dokázána. 
Čtyřúhelník prostorový stanoví hyperbolický paraboloid. Jsou-li 
v čtyřúhelníku tom A x A 2 Ajj A f dvě protější strany A X A 2 , AjA n sobě 
rovny a rovnají-li se sobě též jejich úhlopříčny A x A IIt Aj A 2 pak jest 
tento paraboloid orthogonálný. Položme totiž přímkou A X A 2 rovinu R 
rovnoběžnou ku A f A u a promítejme do ní orthogonálně. Pak průmět 
Aj Ajj úsečky Aj Ajj rovná se též ^ 4 x ^2 a úsečky A X A U ', Aj A 2 se též 
sobě rovnají jakožto průměty úseček A X A II} A z A 2 sobě rovných, jejichž 
koncové body mají stejné rozdíl}/ vzdálenosti od průmětny. Leží proto 
body A x , Aj , A 2 , A : / na kružnici, ježto přímky A x A 2 , Aj Aj f , pročež 
i přímky A x A 2 , A / Ajj nejsou rovnoběžný, následkem toho jest A x Aj || 
A 2 Ajj. Tedy orthogonálně promítající roviny přímek A x Aj, A 2 A fI jsou 
rovnoběžný; takže vskutku rovina řidiči přímek A x A /t A 2 Ajj jest kolmá 
k rovině řídící R přímek A X A 2 , AjAjj. 
Poslední úvahy o stejných příslušných sobě úsečkách platí beze 
změny též pro lconfokální hyperboloidy jednodílné, tak že můžeme obecně říci : 
XX. 
