1.7 
V příbuznosti kar aktér istické dvou konfokálních ploch jsou na plochách 
těch příslušné sobě řady kruhové podobny a příslušné řady přímé shodný. 
16. Karakteristická affinita konfokálních ploch A v A x vede nás k dal- 
ším vlastnostem, které se vztahují k větě Ivory-ho. 
Budtež opět A x , B x dva body na A x a A lt Bj body jim příslušné na A t . 
Čtyřúhelník prostorový A l B l B 1 Aj o úhlopříčnách A 1 B 1 . Aj B 1 stanoví 
hyperbolický paraboloid H; společné hlavní roviny ploch A 1 , A I jsou 
proň rovinami tečnými. Neboť značí-li A xl , B X1 průsečíky přímek A 1 A I , 
B x B[ s některou rovinou hlavní, jest dělící poměr [A 1 A z A u ) roven poměru 
vzdáleností bodu A x , A / od této roviny, který na základě affinity rovná se 
poměru vzdáleností bodu B x , Bj od téže roviny a ten jest dále roven 
(. B 1 B [ B íl ), takže (B 1 B I B n ) = (A 1 A I A n ), následkem čehož přímka 
A XI B XI leží na H. Řečená rovina hlavní obsahujíc jednu přímku plochy H 
dotýká se jí a obsahuje tudíž ještě další přímku plochy, kterou jest patrně 
spojnice průsečíků přímek A 1 B x , A l B 1 s ní. Jsou-li A x , A x plochami stře- 
dovými, tu v jejich středu O sekou se tři navzájem normálně roviny tečné 
plochy H a proto leží bod O v její tak zvané rovině Monge-ově. Přímka 
M M' spojující středy M, M' úhlopříčen A 1 B,, resp. Aj B x jest jak známo 
jedním průměrem plochy H. Jsou-li Aj, A x paraboloidy, pak jest rovina 
Monge-ova stejnosměrná s jejich společnou osou x, a přímka M M' jest 
tudíž kolmá k x 
Máme-li naopak dán libovolný prostorový čtyřúhelník A x B l B [ 
tu jest oo 3 affinit dvou prostorů možných té vlastnosti, že v každé affinitě 
dvěma vrcholům na libovolné straně čtyřúhelníka ležícím příslušejí jim 
přilehlé vrcholy strany protilehlé a že samodružné roviny affinity jsou 
navzájem kolmý. Samodružné body affinit těch tvoří rovina Monge-ova 
pro hyperbolický paraboloid daným čtyřúhelníkem stanovený a samo- 
družné roviny se paraboloidu toho dotýkají. Náležej í-li A x , B x ploše Aj 
a A It Bj ploše k ní koníokální A t jest rovina Monge-ova hyperbolického 
paraboloidu H symmetrálou bodů M, M' půlících úhlopříčny A x B : , Aj B x 
a prochází středem O obou ploch, jak snadno z následujícího seznáme. 
Především přímky A x Bj, AjB x jsou vzájemnými polárami vzhledem 
ku H, přímka, která spojuje jejich nekonečné vzdálené body, jest polárou 
přímky M M' ; proto jsou body M, M' sdruženy vzhledem ku H a ná- 
sledkem toho leží střed U úsečky M M' rovněž na H. Ježto pak (A x Bj M) = 
= ( AjB x M ') = — 1, proto přímky A x A : , BjB x , MM' náležejí jistému 
hyperbolickému paraboloidu obsahujícímu též A X B, a A,B V následkem 
čehož středy C, D, U úseček A x A It Bj B x a M M’ leží v jediné přímce, 
která taktéž na tomto paraboloidu jest obsažena; obdobně soudíme, že 
středy O , D' , úseček A x B lt Aj, Bj M M' leží na přímce. Přímky C D, C' D' 
leží rovněž na H ježto půlí strany protilehlé v čtyřúhelníku A x B x Bj Aj. 
V rovinném čtyřúhelníku C C' D D' jsou všechny strany sobě rovny, ježto 
jejich délky rovnají se bud ~ A x Bj aneb ~ Aj B x ; čtyřúhelník ten jest tedy 
Jj u 
Rozpravy: Roč. XIX. Tř. II. Č. 20. 
XX. 
