18 
kosočtvercem; následkem toho jest C D _L C D' . Bodem U vedme tyto 
tři roviny: rovinu obsahující přímky C D, C D' a dvě roviny k ní kolmé, 
z nichž jedna prochází přímkou C D, druhá přímkou C'D'. ježto tyto tři 
roviny jsou navzájem kolmý a dotýkají se plochy H, proto jejich společný 
bod U leží v rovině Monge-ově plochy H. 
Mohli jsme affinitu mezi A x a A a voliti též tak, že by bodům A It Bj 
odpovídaly body Aý, Bý k A 1 a By souměrně položené vzhledem ku spo- 
lečnému středu O obou ploch; pak z relací Ay B t = A r By a. A 1 r B r — A t B ý 
plyne rovnost 0 M — O M' a tedy rovina Monge-ova procházející bodem 0 
a kolmá ku M M' seče tuto přímku v bodě U. První důkaz ale má tu 
přednost, že platí přímo též pro případ, že Aj a Aj jsou paraboloidy. Stejně 
jsme mohli vésti důkaz v rovině. 
17. Pro další odvoďme si větu následující: 
Jsou-li dány v 'pravoúhlé soustavě souřadně O (x, y, z) libovolně dva 
body A-y, A It jest tím stanovena affinita prostorů Zlj v níž bod O, přímky 
x, y, z jakož i roviny jimi stanovené jsou samodružnými a v níž bodu Ay 
přísluší bod Af, v této affinitě lze sestro jiti plochu druhého stupně P x která 
prochází bodem A ± a jejíž roviny hlavní splývají s rovinami souřadnými , 
takovou, aby affinně jí příslušná plocha Iý byla s ní konjokální. 
Budtež v, y, z souřadnice bodu Ay, X, Y, Z bodu A[ a délky poloos 
pro Pj budtež a, b, c, pro Pj pak A, B, C. 
Klademe-li 
X 
Y 1 
y z 
v =<»■ z 
= y, 
platí tu patrě relace 
a 
~A = 
b c 
~B ~ý’ ~Č 
= Y> 
takže 
a = a A , 
b = (i B, c 
= yC. 
(i) 
Mají-li býti plochy P x , P x konfokální musí platiti vztahy 
d 2 — b 2 = A 2 — B 2 , b 2 — c 2 = B 2 — C 2 , c 2 — a 2 '= C 2 — A 2 , (2) 
z nichž vždy jeden jest důsledkem dvou ostatních. Dosadíme-li do po- 
sledních relací za a, b, c hodnoty z (1) obdržíme rovnice 
A 2 (1 _ a 2 } = B 2 (1 — li 2 ) = C 2 (1 - Y 2 ) 
které dávají úměru 
A . B \C =V(1 — (i 2 ) (1 — y 2 ) : V(l-y 2 ) (1 - « 2 ) : V(1 — « 3 ) (l-/*j (3) 
a obdobně úměru 
a : b : 
1-1) 
a 2 / 
VO-řX 1 -- ?)■ 
( 4 ) 
XX. 
