19 
Poslední rovnice dávají poměry poloos náležejících plochám P 1 , P x 
které mají dané podmínce vyhovovali. Nyní bodem A x prochází jediná 
plocha P x jejíž poloosy mají poměr daný rovnicí (4) a bodem A x prochází 
taktéž jediná plocha P x , jejíž poloosy mají poměr daný rovnicí (3). Plochy 
ty jsou dle (1) affinní a dle (2) konfokální. 
Tím jest věta naše dokázána. 
18. Je-li dán prostorový čtyřúhelník A 1 A I B I B 1 jehož úhlopříčny A X B X , 
A j B x se sobě rovnají, pak lze stanovití oo 3 affinit prostorů 2 V jimiž se 
body A x , B x převádějí v body A T , B r a z nichž každá jest karaktcristickou 
affiniton pro dvě konfokální plochy 2 . stupně procházející body A x , B v 
resp. Aj, Bj. 
Daný čtyřúhelník stanoví hyperbolický paraboloid H, pro nějž 
symetrála bodů M, M' půlících úhlopříčny A x B I} B x A f jest jeho rovinou 
Monge-ovou M. Každý z oo 2 bodů O této roviny jest vrcholem kužele 
paraboloidu H opsaného, jehož roviny tečné tvoří oo 1 trojic rovin navzájem 
normalných. Nechť jsou x, y, z průsečné přímky rovin libovolné takové 
trojice. Zvolme je za přímky samodružné affinity, v níž bodu A x přísluší 
bod A x . Dle předcházející věty lze sestrojiti plochy druhého stupně P x , P x 
sobě v této affinitě příslušné, z nichž první prochází bodem A x , druhá 
bodem A 7 a jež mají samodružné roviny affinity za roviny hlavní tak, 
aby byly konfokální. V této affinitě přísluší bodu B x bod B f . Neboť seče-li 
přímka A x A z roviny (x y), (x z), (y z) v bodech A' , A", A"' a B x B x v bodech 
B' , B" , B"', tu ježto (xy), (x z), (y z) jsou rovinami tečnými plochy H, 
přímky A' B' , A" B" , A'" B'" leží na ploše H, pročež {A X A,A') = 
= [B x BjB'), (. A 1 A l A" ) = ( B x BjB "), (. A x A f A "') = (B 1 B I B ,n ); násled- 
kem čehož jest poměr souhlasných souřadnic bodů B x , B x v soustavě 
O (x, y, z) roven poměru příslušných souřadnic bodů A x , A Ir takže vskutku 
body B x , Bj si ve vytknuté affinitě příslušejí. V affinitě té přísluší tudíž 
přímce A x B x přímka Aj B r První seče P x ještě v bodě BJ, druhá P x v bodě 
BJ affinne mu příslušném a dle věty Ivory-ho applikované na plochy 
P x , P x bude A x BJ = A x BJ. Značíme-li N, N’ středy těchto úseček, pak 
jest především N N' j| M M’ , poněvadž přímky M M' , N N' jsou prů- 
měr}/ paraboloidu H, ježto přímka BJ BJ též na něm leží. Následkem toho 
jsou symetrály bodu M, M' a bodů N, A T ' roviny rovnoběžné, druhá z nich 
N musí procházeti společným středem ploch konfokalních P x , P x ; tím 
ale prochází i první z nich M; proto obě tyto symetrály splývají. Body 
M, N leží na přímce rovnoběžné s A t B r a protínající úsečku A x Aj v jejím 
středu A 0 ; body M', N' leží na přímce rovnoběžné s A x B x a procházející 
též bodem A 0 ; středy M 0 , N 0 úseček M M' , N N' leží na přímce procháze- 
jící též bodem A 0 . Poněvadž M obsahuje bod M 0 a N bod N 0 tu když M 
a N splynou, splynou také body M 0 , N 0 a dále též body M, N jakož i body 
M’, N', takže BJ = B x , BJ = B v 
Mezi plochami P x ; P x takto sobě příslušnými nachází se patrně oo 1 
množství paraboloidů, jejichž středy leží v nekonečnu na M. 
XX. 
