23 
hyperbolický paraboloid H 3 . Středy úseček A x B It B x A It A 1 C 7 , C x A x , 
B 1 Cj, C 1 Bj označme po sobě M , M' , N, N' , L , Z.'. Dle dřívějšího jsou 
symetrály bodů M, M ' , dále bodů N, A r ' a konečně bodů L , L' rovinami 
Monge-ovými paraboloidů H x , H 2 , H 3 . Ony se budou protínati obecně 
v jediném bodě O ležícím v konečnu neb nekonečnu. Bod 0 můžeme po- 
važovali za střed tří kuželu K x , K 2> Iv 3 opsaných příslušně paraboloidům 
H x , Ho, H 3 . Především seznáváme, že mají tyto kužele tři společné roviny 
tečné. Kužele K x , K 2 mají 4 společné roviny tečné, z nichž jedna jest {OA x Aj), 
ostatní tři se dotýkají též plochy H 3 . Je-li na př. (x y) jedna z nich, pak 
dělí tato v stejném poměru jakožto rovina tečná plochy H x úsečky A x B x , 
Aj Bj i úsečky A l A It B x Z> 7 ; jakožto rovina tečná plochy H 2 úsečky A x C x , 
AjCj jakož i úsečky A 1 A I , C X C I . Poněvadž tedy jsou následkem toho 
úsečky B X B X , C 1 C I děleny rovinou (x y) v stejném poměru, proto rovina 
( x y) dotýká se též paraboloidu H 3 a dělí také úsečky B X C X , Bfij v stejném 
poměru. Všecky roviny, které dělí úsečky A x A f , B x B It C x C 7 v stejných 
poměrech, tvoří svazek rovin 3. třídy, přímky povrchové plochy tímto 
svazkem stanovené jsou tečnami jisté kubické paraboly, a společné roviny 
tečné ploch H x , H 2 , H 3 jsou rovinami oskulačními této paraboly. Seznáme 
snadno, že jsou navzájem kolmé. 
Vedme ku H x a tedy i K x roviny tečné kolmé k (x y ) ; poněvadž bod O 
leží v rovině Monge-ově paraboloidu H x , proto budou tyto dvě možné 
roviny tečné (x z), (y z) k sobě kolmý. Považujme dále roviny (x y ) , (x z), 
(y z) za samodružné v affinitě, v níž přiřaefujeme bodu N x bod A x . Z před- 
cházejícího víme, že lze body ^4 X , ^4 X vésti dvě sobě affinně příslušné plochy 
konfokální druhého stupně P x , P x , na nichž leží též body B x , B x jakožto 
dva sobě příslušné v této affinitě. V této affinitě přísluší rovině R x bodem C x 
kolmo k AjBj položené rovina R x bodem C 7 kolmo ku ^4 X B x vedená, ježto 
^4 X C L = ^4 7 C x , B x Cj B I C X a dále rovině L x rovnoběžné s (x y) a bodem C x 
vedené odpovídá rovina L x taktéž rovnoběžná s (x y) a bodem C 7 vedená, 
protože rovina (xy) dělí úsečky A x A It B x B x , C x C l v stejném poměru, 
který se rovná též poměru souřadnice z pro koncové body těchto úseček. 
Přímce q x v níž se roviny R x , L x protínají a která prochází bodem C x odpovídá 
tudíž přímka q x , v níž se roviny R x , L l protínají a jež bodem C 7 prochází. 
Snadno seznáme, že body C x , C x jsou též sobě affinně příslušnými body 
ploch P x , P x . 
Přímka q x seče plochu P x ve dvou bodech; označme je G x , H x \ přímka 
q x seče P 7 pak v bodech C 7 , H I , které sobě v affinitě vytčené útvaru 2J.2J 
budou příslušeti. Následkem toho bude A f G x — A x C 7 , B x G x — B x G x 
a Aj H x — A x Hj, B x H x — B x H : . Poněvadž body G x , H x a C 7 , H : leží 
v rovinách R x , R x sobě příslušných, vychází z toho, že když body ty stano- 
víme tak, aby vyhovovaly podmínkám A x G x = A x C 7 , A x H x = A X H I 
že pak budou již vyhovovati také ostatním podmínkám totiž B x G x = B x C 7 , 
BjH x = B x Hj. Je-li G střed úsečky ^4 7 G x , G' střed úsečky ^4 X C 7 a ob- 
dobně H střed úsečky A x H x , H' pak střed úsečky A x H lt tu, ježto body 
XX. 
