24 
G x , H 1 leží na P 2 a jim příslušné body G x , H l na Pj, musí jak symetrála G 
bodu G, G' tak i symetrála bodů H, H' procházeti středem 0. 
Přiřadů jme nyní body Q {1) na q x k bodům Q (I) na q I tak, aby vždy 
bylo AjQ (1) = A 1 Q {I) . Tím obdržíme na přímkách těch dvě promětné 
involuce bodové. Body Q půlící úsečky A r Q (l) budou popisovali involuci 
bodovou na přímce r j| q x obsažené v rovině (A x q x ) a půlící vzdálenost 
bodu Aj od q x ; body Q' půlící úsečky A 1 Q {I) budou popisovati involuci 
bodovou na přímce / || q t obsažené v rovině A x q I a půlíc vzdálenost 
bodu A x od přímky q x . Tím obdržíme na přímkách r, r' dvě promětné in- 
voluce bodové. Dvojné elementy R, Rm involuce prvé jsou průsečík 
přímky bodem A It která r kolmo protíná a její nekonečně vzdálený bod; 
dvojné body R' , R'm involuce druhé jsou obdobně bod přímky V bodu A x 
nej bližší a její bod nekonečně vzdálenv. Obě involuce vytvořuji plochu 
zborcenou Q jakožto souhrn přímek QQ'; plocha ta jest patrné stupně 
čtvrtého; pro nás jest významné, že má nekonečně vzdálenou přímku 
Rx R ' oo za přímku dvojnou. Následkem toho každá rovina přímkou 
tou, to jest každá rovina rovnoběžná k (x y) seče plochu ještě v kuželo- 
sečce, tudíž i rovina půlící vzdálenost přímek q x , q r Označme tuto kuželo- 
sečku k. Nekonečně vzdálená rovina obsahujíc Rm R’ m protíná O taktéž 
ještě v kuželosečce km, jejíž polární kuželosečka vzhledem k nekonečně 
vzdálené kružnici kulové budiž /». Kuželosečka k jest místem pro středy 
Q 0 úseček Q Q'. Kuželosečky k, k*> jsou v poloperspektivní poloze vzhledem 
ku osám r, / pro karakteristický dvojpoměr — 1; řady bodové na nich 
jsou tudíž promětné, pročež i řada bodová Q 0 , . . . na k a svazek tečen 
tm na /a, jsou promětny, při čemž bodům Q a , . . . přiřaděny jsou prúsečnice 
nekonečné vzdálené roviny s rovinami normalnými ku Q Q' , . ■ . ; a také 
řada bodu Q 0 , . . . jest promětná s řadou bodů Tm, ■■ ■ v nichž se přímky 
tm,... kuželosečky lm dotýkají. Následkem toho roviny E, . . . nor- 
málně položené ku přímkám Q Q ' , . . a vedené body půlícími Q 0 , . . . 
tvoří svazek rovin 4. třídy obalujíce plochu rozvinutelnou, jejíž přímky po- 
vrchové spojují body Q oí . . . na k s příslušnými body Tm , • . . na /®. Avšak 
tento svazek rovin rozpadá se zde ve svazek 2. třídy a ve dva svazky 
první třídy, jak snadno z následujícího seznáme. 
Kuželosečku km sestrojíme tím způsobem, že na př. bodem R vedeme 
rovnoběžky ku všem přímkám Q Q ' , čímž obdržíme kužel U, který seče 
nekonečně vzdálenou rovinu v kuželosečce km. Protněme U rovinou 
obsahující / a rovnoběžnou s r v křivce u. Rovnoběžka ku Q Q' bodem R 
vedená nechť seče U v bodě U, takže Q' U = Q R. Dále jest 
ŘQ 2 = a~q z - aTr 2 , W 1 = ÁTQ' 2 - 
pročež vzhledem k rovnosti Ai Q = A X Q' 
ÍTQ' 1 — Q r U 2 = A7Ř 2 —AT R' 1 - 
XX. 
