25 
Má tudíž levá strana poslední rovnice hodnotu stálou pro každý 
bod U na u. Proto jest u rovnoramennou hyperbolou, jejíž asymptoty 
půlí úhly přímek v, v'. Nekonečně vzdálené body U x , U 2 těchto asymptot 
jsou patrně průsečíky křivky koo s rovinou (xy). Body U x , U 2 jsou harmo- 
nicky odděleny od sebe pomocí bodů R*, , R ' Následkem toho v pro- 
mětnosti mezi a k bodu TJ X na k ® odpovídá bod U 2 na k a naopak, 
takže k prochází rovněž bod}' U 1 a U 2 . Bodu U x na k přísluší tedy bod U 2 
na k«, ; polára ť«, bodu U 2 vzhledem k nekonečně vzdálené kružnici 
kulové prochází zase bodem TJ X , poněvadž asymptoty hyperboly u jsou 
k sobě kolmý. Tedy v reciprocitě mezi k a l x body U 1 a U 2 na k jsou in- 
cidentní s příslušnými jim přímkami tečnými ť x> t " x ku U. Tím pozná- 
váme, že skutečně roviny Q 0 t x obalují kužel 2. stupně D. 
Bodem 0 lze věsti obecně toliko dvě roviny tečné k tomuto kuželi, 
takže jenom 2 symetrály Ej, E 2 procházejí bodem 0. Příslušné jim přímky 
Qi Qi> Q 2 Q 2 j sou kolmý k nim a protínají r i r' a jsou tím jednoznačně 
stanoveny. Přímky A 7 Q x , A f Q 2 nechť protnou q x v bodech (jý 1 *, Q 2 {l) , 
přímky A x Q x , A x Q 2 pak přímku q 7 v bodech Q X I] , Q 2 !) . Jest tudíž na 
přímkách q v q 1 obecně obsaženo po dvou a jen po dvou bodech (V 1 *, 
Q 2 {1) resp. Q V {I) Q 2 (I} té vlastnosti, že A 7 = A x Q^ I] , A f Q 2 {1) — A x Q 2 I} , 
a že příslušné symetrály E 1( E 2 procházejí bodem 0. Ježto pro body 
průsečné G v H v resp. G / H 7 přímek q x , q 7 s plochami P x , P x platí též 
relace A 7 G X = A 1 G / , A 7 H x = A 1 H 7 a příslušné symetrály středů těchto 
úseček procházejí v důsledku věty Ivory-ho bodem O, proto musí jeden 
z bodů Q 2 (1) splynouti s G x druhý s říj a příslušné jim body Q X I] , Q-} I] 
musí pak splynouti s GJ resp. H t . Tedy relace právě vyznačená platí tu 
jen pro body na plochách P 1 , P r Ježto ale pro body C x , C 7 na q x a q 7 
platí relace A 7 C x = A x C } , proto musí C x splynouti s jedním z bodu G x , 
H x a Cj s příslušným z bodu G It H r 
Tím jsme dospěli k výsledku, že plocha P x prochází také bodem C x 
a plocha Pj bodem C 7 , a že si body C x , C 7 v affinitě dříve vytčené přiná- 
ležejí. 
22. Naše úvahy byly provedeny ovšem jenom pro případ, že bod 0 
neleží na kuželi D, v kterémžto případě leží vně kužele, ježto jedna a tedy 
i druhá z rovin tečných ke kuželi jím vedená jakožto symetrála bodů C, C' 
jest reálná. Kdyby 0 ležel libovolně na kuželi tom, pak by obě roviny 
tečné splynuly a přímky q x , q 7 by se dotýkaly plochy P x resp. P x v bodech 
C v C j. Výjimka v našich úvahách by mohla tedy nastat jenom v případě, 
že vrchol řečeného kužele by splýval s bodem 0. V tom případě by pro 
každé dva body Q v Q 7 na q L resp. q x pro něž Aj Q x = A x Q 7 symetrála E 
středů Q, Q' těchto úseček procházela bodem O. Předpokládejme tu nejprv, 
že bod O leží v konečnu. V affinitě mezi 2J X a si přísluší roviny L x , Lj 
rovnoběžné k (x y) z nichž první prochází přímkou q x , druhá přímkou q 7 \ 
taktéž kuželosečky l x , l 7 , v nichž rovina první seče Pj, druhá P x jsou si 
affinně přiřaděny. Vytkněme si njmí kouli středu A x protínající L x v kruž- 
XX. 
