9 
základními integrály; neboť určité integrály lze v limitním případě snadno 
vyčísliti. Přechodem lc libovolnému racionálnému bodu reálné osy pak 
zjednáme si prostředek k formulování velmi jednoduchého zákonu pro 
tvoření číselných koefíicientů grupy hypergeometrické. 
Integrand, jejž pro případ původního pořadu exponentů označím 
krátce f (v, r), dá se rozvinouti v absolutně a stejnoměrně konvergentní 
řadu Fourierovu, jejíž koefíicienty jsou opět nekonečné řady. Jich členy 
jsou celistvými, racionálnými funkcemi veličin 
1 
Vzrůstá-li tedy imaginární část kvocientu r nad každou mez, lze psáti: 
/ i v > r oo ) = p ai+ai sin a ' 7t v cos ai n v e [?cc] , p = 2 q* , 
kde exponent posledního faktoru značí absolutně konvergentní Fourierovu 
řadu vzhledem k proměnné v, jejíž koefíicienty blíží se zároveň s q x 
k nulle, takže jest: 
e [q ^= 1 + [?« 1- 
Vedeme-li tedy, jak obyčejně, první základní integrál přímočárně 
mezi body 0, bude patrně: 
1 
lim 2 n j / (v, ) d v = lim B ( 1 ^ , — Í— ) />® 1 + 02 . (2.) 
0 
Za druhé základní řešení zvolme integrál od nully k bodu v = — 
přímočárně vedený; taktéž jeho limitní hodnotu chceme určití pro případ, 
že r udaným již způsobem vzrůstá do nekonečna. Ježto však proměnná 
přijímá komplexní hodnoty, transformujme ji následovně: 
T 2 
j* / [v, t) d v = r J / (r u, t) du 
o o 
a vyšetřme hodnoty thetafunkcí pro lim r 0 =0. Jest pak: 
t 00 
tt (l {tu, z) =q 7] (t) (1 — q x + 2u ) (1 — q x ~ 2u ) TI (1 — q 2 i+ 1 ~ 2 «) (1 — g' 2?+1+2 “) J 
, ™ 00 
(r u, r) =q« V (z) e 2 q~ u ( 1 - q 2 “) TI ( 1 - q 2 ' +2 “) ( 1 - q 2 >'- 2 “) , 
(r u, r) = qv v (t) q~ u (1 + q 2u ) TI (1-)- q 2 1+2 u ) (1+ q 2l ~‘ 2 “), 
& s (r u, x) =q~T?rj (r) (1 + q x + 2u ) (1 + q x ~ 2 U J 8(1 + ^ 2/+1 ~ 2 “) (1 + q 2 ’ +1+2u ). 
XXIX. 
