5 
Má-li plocha P dvojnou křivku, odpovídají bodům této kružnice 
dvojnásobně se dotýkající křivky A. b ) 
5. Pět čísel x v x 2 , x 3> x 4 , x 5 vyhovujících rovnici 
£l = o, (8) 
kde £1 jest homogenní kvadratická forma pěti proměnných x t , můžeme 
považovati buď za souřadnice kružnice v rovině (dle odst. 2.) aneb za 
souřadnice bodu v prostoru, jenž jest té kružnici přiřaděn transformací (7). 
Tak obdržíme pro bod prostoru pět souřadnic pentasferických „r y, v dalším 
budeme užívati tří systémů A, B a C takových souřadnic. Vzorce, které 
vyjadřují x i homogenními souřadnicemi pravoúhlými (x, y, z, t), obdržíme 
z vzorců na konci odst. 2., píšeme-li v nich x, y, z, t místo a, b, ir, t: 
A) x x = 2 x t, x 2 = 2y t, x 3 = 2 z t, v 4 = i (x 2 -f- y 2 -f- z 2 -j- t 2 ) , 
x 5 = x 2 -j- y 2 -j- z 2 ~ t 2 
££ — x x — j— x 2 -j- x 3 - — (- x 2 — (- x 2 — o 
B ) x x — — 2 t 2 , x 2 = x 2 -j- y 2 + 2 2 , x 3 = 2 xt, x x = 2 y t, x 5 = 2 z t 
£1 = 2 Xj x 2 A- + x i + x 5 2 = o 
C ) x x — — 2 1 2 , x 2 = x 2 + y 2 + z 2 , x 3 = V2 (x + i y) t, v 4 = V 2 (x — i y) t, 
x 5 = 2 z t 
£1 = 2 x x x 2 + 2 x 3 x 4 + xl = o. 6 ) 
Skupina konformních transformací v prostoru jest analyticky vy- 
jádřena skupinou lineárních homogenních substitucí pěti proměnných x it 
kterými se nemění rovnice (8), interpretuj eme-li x, jako souřadnice penta- 
sferické. 7 ) Jestliže však interpretujeme x t jako souřadnice kružnice, 
představují tytéž substituce skupinu (T) všech dotykových transformací T 
roviny, jež mění kružnice v kružnice. 8 ) Skupina (T) (a isomorfní s ní sku- 
pina (T a ) všech konformních transformací T 0 prostoru) obsahuje 10 libo- 
volných parametrů. 
6. Dle L i o u v i 1 1 e a lze každou konformní transformaci T 0 
prostoru rozložiti na transformace neměnící tvar (pohyby a zvětšení roz- 
měrů) a na inverse. L i e 9 ) ukazuje, že lze T 0 rozložiti dle formule 
T 0 = A 0 J„, (9) 
kde A 0 značí transformaci neměnící tvar, a J 0 inversi. 
5 ) F. K 1 e i n 1. c. I., p. 479. 
6 ) G. Darboux (Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces 
algébriques, Notě X; 1873) zavedl pentasferické souřadnice (systému A). G. L o r i a 
(Geometria della sféra; Memorie delťAccademia delle Scienze di Torino Ser. II. 
T. 36, 1884) zabýval se obšírně obecnějšími systémy takových souřadnic. 
7 ) Viz Klein 1. c. I., p. 382. 
8 ) Lie-Scheffers 1. c. Kap. 10, § 2; Klein 1. c. I., p. 475. 
9 ) Lie-Scheffers 1. c. p. 417. 
XLVIII. 
