10 
pentasferické; považuj eme-li však x i za souřadnice kružnice, představuje 
(17) ,, lineární komplex kružnic který nazveme A. Každému bodu (x t ) 
koule A n odpovídá kružnice (x t ) komplexu A, a naopak [dle rovnic (7)]. 
Tato definice lineárního komplexu kružnic jest analogická definici lineárního 
komplexu ploch kulových ve smyslu Lieově. 15 ) íj 
V následujícím jedná se především o vlastnostech invariantních 
vzhledem k transformacím T skupiny ( T ) (v. odst. 5.); obrazy těchto 
vlastností nalézáme v geometrii konformních transformací T 0 prostoru, 
čímž se přehled značně usnadní. 
Všechny kulové plochy prostoru (roviny v to počítaje s výjimkou 
rovin dotýkajících se kružnice nekonečně vzdálené), jichž poloměr se 
nerovná nulle, jsou navzájem ekvivalentní ve skupině (T 0 ); příslušné 
,, obecné" lineární komplexy kružnic jsou tedy všechny navzájem ekviva 
lentní ve skupině ( T ) t. j. vždy existuje v této skupině transformace, která 
převádí daný komplex v jiný komplex daný. 
Budiž kulová plocha A n dána rovnicí 
x 2 + y 2 + (z — y) 2 — R 2 = o ; 
rovnice komplexu A jest pak 
a 2 + b 2 — - r 2 — (R 2 — ■ y') — 2 i y r — o , (18) 
značí-li (a, b, r) obyčejné souřadnice kružnice komplexu. 
Srovnejme rovnici (18) s (1); shledáváme, že každá kružnice (a, b, r) 
protíná v konstantním úhlu q> x pevnou kružnici k x (o, o, r x ). při čemž platí 
r x 2 = R 2 — y 2 , r x sin cy x — R, r x cos cp x — i y . (19) 
k x jest dle toho průsečná kružnice koule A 0 s rovinou z = o; nazveme ji 
kružnicí řídící komplexu A . 16 ) 
15 ) Pro Lieovu geometrii kulových ploch jest fundamentální pojednání Ober 
Complexe etc. (Math. Annalen V., p. 145; 1872). jehož obsah z největší části jest 
zpracován v díle Lie-Scheffers: Geometrie der Beruhrungstransformationen 
(1896). T h. Reye (Synthetische Geometrie der Kugeln. 1879) založil geometrii 
kulových ploch na jiném stanovisku, bližším geometrii projektivní. Dle těchto 
vzorů lze pojímati geometrii kružnic v rovině dvěma způsoby; my se přidržíme 
důsledně vzoru Lieova. Odst. 11 — 13 odpovídají úvahám o tvarech lineárních 
komplexů kulových; viz V. Snyder: Ober die lin. Complexe der Lie’schen Kugel- 
geometrie, Dissert. Góttinky 1895; P. F. S m i t h : On surfaces enveloped by spheres 
belonging to a linear spherical complex. Transact. of the Amer. Math. Soc. I., 1900; 
odvození podávám jiným způsobem než autoři právě jmenovaní. D ar b o u x (viz 
pozn. 3. pod čarou) vyšetřoval celou řadu problémů o kružnicích v rovině užitím 
transformace (7). 
16 ) Úlohy týkající se lineárních komplexů kružnic řeší se v deskriptivní geo- 
metrii užitím t. zv. cyklografie, jejíž princip neliší se podstatně od transformace (7). 
XLVIII. 
