12 
Zvláštní tvary svazků prvého druhu: 
a) Průsečná kružnice k 1 koulí d 0 a leží v i'ovině z = o; všecky 
komplexy svazku mají k 1 za kružnici řídící, úhel qp, se mění od komplexu 
ke komplexu. 
/i) Koule A 0 a B n mají společný střed v bodě (a, (i, y); řídící kružnice 
všech komplexů svazku jsou soustředné a poloměry řídících kružnic r i 
a úhly qp ; , v nichž jsou kružnice každého komplexu proťaty kružnicí řídící, 
vyhovují rovnicím 
r 1 cos <p 1 = r 2 cos qp 2 = . . . = i y. (20) 
Kružnice společné dvěma komplexům A, B tvoří lineární řadu; 
obrazy jejich jsou v prostoru body jisté kružnice c 0 (průsečné kružnice 
koulí A 0 a B 0 ). Není-li poloměr kružnice c 0 roven nulle, jest lineární řada 
obecná; kružnice takové řady obalují dvě kružnice. Je-li poloměr kružnice 
c n roven nulle, jest lineární řada specielní, a skládá se z dvou svazků kružnic 
o splývajících základních bodech s jednou kružnicí společnou. 
Průsečný úhel koulí A 0 a B ů jest absolutní invariant ve skupině (T 0 ) 
konformních transformací prostoru; dva komplexy A a B budou tedy 
míti též absolutní invariant ve skupině (T). Jsou-li koule ortogonální, 
obdržíme dva ,, komplexy v involuci" (dle Kleina); řídící kružnice dvou 
takových komplexů protínají se v úhlu i', jenž jest vázán s úhly cp v qp 2 
(ve kterých kružnice prvého resp. druhého komplexu jsou proťaty pří- 
slušnou kružnicí řídící) relací 
cos ý = cos qp x . cos qp> . (21) 
Tato rovnice jest invariantní vzhledem ku všem transformacím 
skupiny (T). 
Pro některé zvláštní tvary komplexů (odst. 11.) nabývá rovnice (21), 
vyjadřující involutorní polohu, jiné podoby: 
Komplex kružnic o konstantním poloměru a jest v involuci s kom- 
plexem A, jestliže 
r x cos qpj = — a . (22) 
Zvláštní případ: komplex kružnic o poloměru rovném nulle (a = o) 
jest v involuci s každým komplexem ortogonálním. 
Komplex obecný jest v involuci se speciálním, náleží-li řídící kružnice 
tohoto do komplexu prvého. Pěti koulím, jež se navzájem protínají v pra- 
vých úhlech, odpovídá soustava pěti komplexů, jež jsou po dvou v involuci. 
Každá taková soustava pěti obecných komplexů v involuci jest ekviva- 
lentní se soustavou utvořenou komplexem kružnic o poloměru rovném 
nulle a čtyřmi komplexy ortogonálními, jichž řídící koule jsou navzájem 
ortogonální. 
XLVIII. 
