17 
Jeden osminásobný bod jest co do redukce třídy equivalentní 28 
bodům dvojným, oba kruhové body vydají tedy za 56 bodů dvojných. 
Mimo kruhové body má proto křivka ještě 76 — 56 = 20 bodů dvojných. 
Podobně se najde počet dvojných tečen 
r 
v němž jest zahrnuta nekonečně vzdálená přímka (jež se křivky nedo- 
týká) 56krát, jakožto spojnice osminásobných bodů kruhových; vlastních 
dvojných tečen jest tedy 20. 
Tato charakteristická čísla ni' , n' . . . se již nemění ani obecnou 
inversí ani dilatací 2S ; odpovídají tedy křivce singularit s' obecného kom- 
plexu [11111]. 
19. Bližší podrobnosti o této křivce s' snadno odvodíme, máme-li 
na zřeteli cyklidu, která představuje komplex, a rozvinutelnou plochu S', 
která jest opsána cyklidě a kružnici nekonečně vzdálené; průsek plochy S' 
s rovinou z = o jest právě s'. 
S' má pět dvojných křivek čtvrtého stupně / ( (i = 1, 2, 3, 4, 5), 
jež leží na pěti kulových plochách navzájem ortogonálních. Každá z křivek f i 
(jež jsou íokálami cyklidy odpovídající komplexu) protíná rovinu z = o 
ve čtyřech dvojných bodech křivky s' , a má na nekonečně vzdálené kruž- 
nici čtyři body, kterým odpovídají čtyři dvojné tečny křivky s' . Tedy: 
Křivka singularit s' obecného kvadratického komplexu [11111] jest 
stupně a třídy 16, prochází Skrát každým kruhovým bodem, a jest společnou 
obálkoví pěti řad kružnic, jež se jí dvojnásobně dotýkají. Každá řada jest 
obsažena v lineárním komplexu K i a středy kružnic té řady jsou na křivce c i 
čtvrtého stupně se dvěma body dvojnými. Řídící kružnice každého komplexu K i 
jest soustředná s kružnicí obsahující čtyři dvojné body křivky s' a s kružnicí 
dotýkající se čtyř tečen téže křivky , 24 ) 
20. Uvažujme jednu z pěti bikvadratických sférických křivek f i 
na př. f x . Každá ze čtyř kulových ploch obsahujících křivky / 2 , / 3 , f i a /- 
protíná ji ve čtyřech bodech (,, vrcholech"), v nichž jest oskulační rovina 
stacionární. Tečny křivky v takových čtyřech bodech sestrojené sbíhají 
se ve středu příslušné plochy kulové. 
23 ) Křivka parallelní rozpadá se zde na dvě křivky, jejichž charakteristická 
čísla mají hodnoty právě nalezené m' , n' . . . Křivka singularit obecného komplexu 
[11111] jest orientovaná, kdežto křivka singularit komplexu (K), od kterého jsme 
vycházeli na počátku odst. 18., orientovaná není. Srv. odst. 9. a pozn. 13. 
2i ) Tyto věty plynou bezprostředně z vět o fokálách cyklid (o těchto viz 
Darboux 1. c. No. 43); bez důkazu je uvádí P. F. Smith (Transactions of 
tne American Matli. Soc. vol. I., p. 390; 1900), jenž dokázal analogické věty o kva- 
dratických komplexech kulových. 
Rozprava: Roč. XIX. Tř. II. Č. 48. 
XLVIII. 
o 
