1S 
Budiž R i poloměr kulové plochy obsahující křivku /., a A t průmět 
středu té plochy do roviny z = o. Průmětem křivky / x jest křivka čtvrtého 
stupně q se dvěma dvojnými body; průmětem každého vrcholu křivky f í 
jest bod, ve kterém má q čtyři soumezné body společné s jistou kuželo- 
sečkou. Tečny křivky q v těchto bodech sestrojené sbíhají se po čtyřech 
v bodech A.,, „4 3 , A l] a A b , které nazveme póly křivky q; připojíme-li totiž 
k některému z nich oba dvojné body křivky, obdržíme tři fundamentální 
body quadratické transformace I, 25 ) která při vhodné volbě konstant 
nemění křivku q. Křivka q, jakožto průmět sférické křivky f v dotýká se 
patrně ve čtyřech bodech kružnice o středu A 1 a o poloměru R v Z toho 
následuje: 
Ku každé rovinné křivce q čtvrtého stupně se dvěma body dvojnými, 
která jest vepsána do kružnice 26 ) o středu A 1 a o poloměru R , , patří čtyři 
jiné křivky c 2 , c 3 , q a q stupně čtvrtého se dvěma dvojnými body vepsané 
do kružnic o poloměrech R 2 , R 3 , R v R b , a o středech A 2 , A 3 , A, v A b , které 
jsou právě póly dané křivky q. Vztah mezi pěti křivkami q jest souměrný ; 
každý z pěti bodů A- jest středem kružnice opsané křivce q a polem ostatních 
čtyř křivek. 
Dle odst. 11. jest řídící kružnice k i komplexu /v, průsek koule ten 
komplex představující t. j. koule obsahující křivku f i s rovinou z = o; 
úhel qq, ve kterém kružnice komplexu K t protínají k l a poloměr r i kruž- 
nice kj souvisí spolu dle rovnice (19): 
n . sin <pi = R,. 
Jsou-li křivky q (a tedy i konstanty Rj) dány, jest možno voliti 
r, a cp, nekonečně mnohými způsoby tak, aby bylo rovnicím (19) vyhověno. 
Příslušné křivky s' 16. stupně jsou parallelní, neboť pošinuje-li se plocha S' 
ve směru osy z, nemění se q, avšak poloměry všech kružnic, jež se dvoj- 
násobně křivky s' dotýkají, zvětšují se o tutéž veličinu. 
Kružnice k t jest proťata křivkou q v osmi bodech, z nichž čtyři 
(průseky roviny z = o s křivkou fj) jsou středy kružnic o poloměru = o 
dvojnásobně se dotýkajících křivky s'; nejsou to však ohniska této křivky 
v obyčejném smyslu, nýbrž čtyři dvojné body, poněvadž přímočaré ele- 
menty společné křivce a některé z oněch čtyř kružnic jsou právě dány 
oběma tečnami křivky sestrojenými v bodě dvojném. Křivka s' nemá 
vůbec ohnisek. 
Zbývající čtyři průseky k, s q jsou středy kružnic o poloměrech T o 
dvojnásobně se dotýkajících křivky s'. Křivka s' jest dokonale určena, 
je-li dána křivka c čtvrtého stupně se dvěma dvojnými body vepsaná do 
kružnice o poloměru R a mimo to r a <p, jež vyhovují podmínce r sin cp = R. 
25 ) I jest projektivně transformovaná kruhová inverse. 
26 ) T. j. dotýká se kružnice ve čtyřech bodech. 
XLVIII. 
