38 
kterážto rovnice má — pokud jest k reální — jeden reálni kořen a dva 
imaginární konjugované. 
Z průseků křivky (85) s přímkou nekonečně vzdálenou dva (pro 
t = oo ) splývají a zbývající dva jsou v bodech knihových, neboť (ne- 
závisle na k) jest ^ = -+- i pro t = + . 
Zvětšiti k o nějakou veličinu znamená posunouti původní křivku (84) 
ve směru 0 z; takovému posunutí přiřaduje však transformace (7) zvětšení 
všech poloměrů křivosti r křivky C o touž veličinu. Tedy: 
Rovnice (85) představují soustavu parallelních křivek čtvrtého stupně. 
Každá z nich prochází oběma kruhovými body, dotýká se mimo to přímky 
nekonečně vzdálené a má tři body úvratu v konečně vzdálenosti ; je-li k reální , 
jest jeden z nich reální a dva imaginární. Společná evoluta křivek soustavy 
jest křivka třetího stupně 
x = t — ■ — t 3 
y = 2 t 2 
s dvojným bodem ; má přímku nekonečně vzdálenou za tečnu inflekční. 
Křivka (86) jest známá pode jménem Catalanova trisektrix 39 ) a má 
rovnici 
18 x 2 = y (3 — 2 y) 2 . (86a) 
2 1 
Inflekční body v konečnu ležící jsou (x ■— -4- — i . y = — • — ) ; 
o ' 2 
obě příslušné tečny inflekční jsou přímky isotropické. 
Z rovnic uvedených v odst. 9. lze snadno dokázati, že každá sou- 
stava parallelních křivek 4. stupně nutně se skládá z křivek trikuspidálních, 
které se dotýkají přímky nekonečně vzdálené a procházejí oběma kruho- 
vými body; dle theorie evolut následuje z toho, že jejich společná evoluta 
jest racionální křivka 3. stupně, která má za tečny inflekční dvě přímky 
isotropické a přímku nekonečně vzdálenou. Těmito podmínkami jest však 
tvar evoluty úplně určen; evoluta jest právě křivka (86). Tedy: 
Existuje jen jedna soustava parallelních křivek čtvrtého stupně daná 
rovnicemi (85). 
Jednoduchý důkaz této věty plyne též z Lieova theorému o mini- 
málních křivkách prostorových 3. stupně na počátku tohoto odstavce 
uvedeného. 
Třída VII 
40. Jediný druh [5]. — Kanonické formy 
Sl = 2 x 1 x 5 -j- 2 x 2 x 4 -j- x 3 2 = o , (87) 
39 ) Tak ji nazývá Loria (Spezielle alg. und transsc. Kurven; 1902); rov- 
nice (5') v tomto dílé na str. 87 uvedená souhlasí pro p = ^ s naší rovnicí (86 a). 
XLVIII 
