5 
Jest to křivka řádu třetího s dvojným bodem P, dotýkající se 
v něm přímek x = 0, z = 0. Libovolná křivka kruhová, která s křivkou 
tou má společnou tečnu 2 = 0, má rovnici 
x 2 4 - z 2 — 2 z r = 0 ; 
ona má s křivkou tou jednak nekonečně vzdálené bodv, jednak dva sou- 
mezné body na X' společné; zbývající dva body prňsečné leží pak na 
přímce 
2 r (a z — b x cos co) + (a 2 -|- b 2 ) x sin co = 0, 
čili 
[ — 2 rb cos co + (a 2 -f- b 2 ) sin oj] x J- 2 r a z = 0. 
( 7 ) 
Vidíme, že ještě jeden z těchto průsečíků padne do P, jakožto prů- 
sečík druhé větve křivky a zbývající průsečík leží na přímce (7). Oskulace 
kružnice té s křivkou nastane tenkráte, když volíme r tak, aby zbývající 
průsečík s přímkou (7) splynul rovněž s P, což nastane, když vezmeme 
r 
a 2 + b 2 
2b 
tg co 
( 8 ) 
Tím dospíváme k výsledku, že svazek normalných řezů osou Z 
vedených a řada příslušných jejich středů křivosti jsou rovněž promětny, 
a vztah promětnosti jest dán rovnicí (8) čili 
2b r — (« 2 -f b 2 ) tg co = 0, 
takže rovině X Z přísluší bod P a rovině Y Z bod nekonečně vzdálený na Z. 
Libovolná rovina R bodem P seče plochu A v křivce (r) 3. řádu 
s dvojným bodem P; tečny v dvojném bodě jsou přímky průsečné s 1( 
resp. s 2 roviny R s rovinami (x, y) = ( X , Z) a ( X Y). Pro bod P platí 
věta Meusnierova v tom smyslu, že, uzávírá-li R s rovinou (s x z) úhel co 1 , 
s rovinou (s 2 Z) úhel gj 2 , jest, značíme-li r x poloměr křivosti normálního 
řezu s rovinou (s x z) a r 2 s rovinou (s 2 z) , dále P, poloměr křivosti křivky (r) 
v P pro větev dotýkající se přímky s,, a P 2 poloměr její křivosti pro 
větev dotýkající se přímky s 2 , máme relace 
P, = r x cos oj], P 2 = r 2 cos co. 2 . 
Neboť pro řez roviny R obdržíme v pravoúhlých souřadnicích, 
majících P za počátek a s x za osu značíce kolmou k ní osu rj z (5), 
snadno rovnici 
(| 2 + rf) (i sin cg -|- rj cos cp sin co,) + (a sin cg + b cos cg) £ tj cos oj, 
P ( a cos cp — b sin cp) r/ 2 sin oj, cos gj, == 0, 
LVI II. 
