205 
In verband met (2) volgt hieruit dat aan de gestelde voorwaarden 
wordt voldaan indien, in de ontwikkeling 
X 
J' UnX'^ dx = — n '/’a • • • ( — w(n — 1). . 2r/)„ ( — (3) 
0 
voor (fn een eenvoudige functie wordt gekozen zoodanig dat deze 
functie, benevens hare n — 1 eerste ditferentiaalquotienten, nul worden 
voor x = ^ en x = a en dat dan 
Un = ^^ eu JlV dx^{-lY7i!j(fndx .... (4) 
p ^ 
Deze eenvoudige methode tot bepaling van de termen der gezochte 
reeks is in 1833 aangegeveii door Murphy als een nieuwe wijze 
van berekening der bolfuncties; in Thoaison en TAiT’sNatural Philosophy 
wordt in paragraaf 782 hierop de aandacht gevestigd. 
De methode is echter geenszins beperkt tot de berekening vaii 
bolfuncties, maar kan gereedelijk tot andere omstandigheden als de 
hier boven aangevoerde worden uitgebreid. 
Zoo kunnen, in plaats van het volledig polynomium, de gevallen 
van even en oneven polynomia ook afzonderlijk worden behandeld; 
ook kunnen polynomia vermenigvuldigd met een exponentieelen factor 
als of e~^ gebezigd worden. 
Eveneens kan men, als element der integratie, in plaats van dx 
ook xdx (vlak) of x^dx (ruimte) aannemen terwijl voor x ook groot- 
heden van anderen aard, b.v. sin a, kunnen worden geschreven. 
3. Zijn de grenzen 1 en — J, dan ligt het voor de hand, als 
eenvoudigsten vorm, die voor beide grenzen nul wordt, te kiezen : 
<f„ = C{x^ — 1 )'> U„ = (x^- - ])« 
dx^ 
waarin C een willekeurige constante voorstelt. Kiest men 
n! 
dan wordt 
n{n—\) n(n — l)(n— 2)(?i-3) 
” 2(2n-l) ^ 2 4.(2n-l)(2n-3) 
enz. . (5) 
de bekende vorm (behoudens een constanten factor) van de bolfunctie 
en, volgens (4) 
