739 
IS met a. Het residu van zulk 
1 //A 
e V V ( _ e a 
een pool is 
1 (- 
= “ (- 
2jry 
2jry A=l \aj 
derhalve komt er 
i/jï A:=a) //. 
/ = A - (— 2 / V ( _ 
- 1 e V = 7 F — 
r h=\ v« 
'J r 
Onderscheid is nu te maken tussclien de beide gevallen a = 1 
en a = — 1 . 
Voor a = 4?c 1 heeft men 
g = + (^) en derhalve /(r?) = -/(e+’f) , 
zoodat uit de voor / gevonden uitkomst volgt 
J' G ^ ^ 2 Ji t X dx = 4 V ^ , (a = 4;(> + 1) . 
o 
Daarentegen is voor a = 4ia — 1 
(7) = “(v) ■= 
(I) 
zoodat in dit geval uit de integraalformule besloten wordt tot 
= *t£/b-T' 
^ 2nz . 'iTit 
^ J — 2 ' — / J {(i = 4«’ — 1) 
(II) 
Zooals men kan aantoonen, blijft (.Ie vergelijking (II) gelden, als 
men stelt ^ = 0, en als men gebruik maakt van de reeksontwikkeling 
/h 
)=:!:(■) 
znmr 
e 
verkrijgt men in dit uitzonderingsgeval 
'» = “/7/A1 jt ji ^ h\ 
- - = — /(1)=-— ^ - A. (a = 47r-l) 
m=l l/rt a[/a /,=i X^aJ 
De uitkomsten, die Stieltjes vond, zijn hiermede afgeleid, men 
kan nu echter de vergelijkingen (1) en (II) gebruiken om andere 
uitkomsten te vinden, die in de getallentheorie minder bekend zijn. 
Voor bestaanbare a heeft de functie f{e de eigenschap om 
voor positieve en negatieve waarden van x van toenemenden modulus 
sterk tot nul te naderen. Uit deze overweging l)esluit men, dat de 
alofemeene sommatieformule van Fourier 
