865 
drie c'* van den bundel, die een willekeurig punt P tot basispunt 
heeft, vormen de hier in aanmerking komende krommen van ^ een 
stelsel [C‘] met index drie, dat projectief is met den stralenbundel [t). 
De beide stelsels brengen een kromme van den graad in + 3) voort, 
welke door een straal t gesneden wordt in {n —■ 3) punten T. Zij 
heeft dus in B een zesvoudig punt en er zijn zes krommen c'^, 
waarop B undulatiepunt is. 
Als het net basL^piinteii heeft, zijn deze dus zesvoudige punten op 
de kromme {ü). 
Voor n=z S ontaardt de kromme in een zesstraal, die uit bestand- 
deelen van samengestelde krommen bestaat. 
6 . Aan elke c“, die een undulatiepunt U bezit, zullen wij haar 
vierpuntige raaklijn u toevoegen; deze snijdt haar nog in (n — 4) 
])unten V. De meetkundige plaats der punten V vormt met de 
viermaal gelegde kromme (U) het voortbrengsel der projectieve 
stelsels [c’‘] en [(^j. In den bundel, dien een punt P uit iV afzondert, 
komen 6(n — 3)(3n — 2) krommen voor, die een punt ü bezitten ') ; 
dit getal is dus de index van [c’‘j. Het stelsel [aj heeft, blijkens 2, 
den index 6n(/i— 3). Op analoge wijze als boven (§ 4) vinden we 
nu voor den graad van ( V ) 6(/t — 3)(3n — 2)-f-6nXH— 3) 12^6/^ f 1) = 
=6(/i — — 7). 
Nu voegen we op elke rechte u het punt U aan elk der (n 4) 
punten V toe. Daardoor worden de stralen van een bundel {M ) gerang- 
schikt in een verwantschap met kenmerkende getallen 3(6n— ll)(n— 4) 
e,i G(n— 4)(n‘^+4n— 7). Merkt men op, dat de 6/d'n— 3) vierpuntige 
raaklijnen, die in M samenkomen, elk (/i— 4) coïncidenties ver- 
tegenwoordigen, dan vindt men, voor de coïnciflenties ü V het 
aantal (n— 4) [3(6/i— ll)+6(n^+4n--7)-6/dn— 3)] = 1 5(n— 4)(4n— 5). 
Dit is dus het aantal krommen c\ die een vijf puntige raaklijn, t„ 
bezitten. 
Beschouwen wij thans de verwantschap tusschen twee punten 
V„ V„ die op dezelfde raaklijn u liggen. Wederom gebruik makende 
van de verwantschap, die daardoor tusschen de stralen MV,, 3/P, 
ontstaat, vinden wij, op overeenkomstige wijze, \oor het aantal 
coïncidenties F"i = P, l‘2{n^ -\-4:n—7){n 4)(n— 5)— 3)(n— 4)(w 5) 
Hiermede is het aantal krommen van 
N gevonden, die in het bezit zijn van een raaklijn dus van 
een undulatiepunt, waarvan de raaklijn de kromme nog elders aan- 
raakt. 
1) T. bl. 105. 
