870 
voortgebrachte figuur bevat de kromme (R) tweemaal, de kromme 
(/) driemaal. Voor den graad van S vinden wij dus 
3(7i—3)(n—4)(n^+6n—4)4-9w’fn—3)(??—4)—6(?2—4)(2w*+5n—12)— 
— 9(72— 4)(n^+6n— 13)=3(w-4)(n— ö)(4n^+772~15). 
Met behulp van deze uitkomst kunnen wij nu het aantal dubbel 
osculeerende rechten ^33 bepalen. Daartoe beschouwen wij de ver- 
wantschap {AfR, MS). Haar kenmerkende getallen zijn 
3 (2n"+5n— 12) (? 2 — 4) (n—5) en 3 (4?2^-f 7/2— 15) ^n—4) ( 22 — 5). 
Elke der 9/2 ( 22 — 3) (22—4) tot den bundel (M) behoorende ^ 2,3 is 
( 22 — 5)-voudige coïncidentie, dus is het aantal der coïncidenties 
ReeiS ( 22 — 4)(22-5) [(622^+1522- 36)+(l 222^+2122-45)— 922 (22—3)] = 
= ( 22 — 4) ( 22 — 5) (922‘'+6322 — 81). Maar dan bedraagt het aantal dub- 
bel osculeerende rechten, l(w — 4) ( 22 — 5) ( 22 ^+ 722 — 9). 
Met behulp van de verwantschap tusschen de punten 1 en *Sder 
raaklijnen ^ 3,3 kan men het reeds in § 6 gevonden aantal raaklijnen 
Ï 2,4 terugvinden. Analoog verkrijgt men door middel van de verwant- 
schap tusschen twee punten S van eenzelfde ^ 3,3 opnieuw het in 
§ 11 gevonden aantal raaklijnen t 2 , 2 , 3 - 
13 . Heeft het net in B een basispunt, dan worden de krommen 
c'\ die in B een buigpunt hebben, door hun stationaire raaklijn t 
in groepen van (22—3) punten T gesneden, gelegen op een kromme 
met zesvoudig punt B 5). Deze kromme is van de klasse 
(22+3)(22+2 'i -30; door B gaan 22 ^+ 52 ? — 36 van haar raaklijnen. 
In het raakpunt R van zulk een t woi'dt deze geraakt door een 
c«, welke zij in B osculeert; dus is B een {n-4){n-{-^)-voudig punt 
op de kromme (/) 2 , 3 - 
De krommen c", die in B aan een straal d raken, vormen een 
bundel, bepalen dus op d een involutie van den graad (22—2). Daar 
deze 2(22— 3) coïncidenties bezit, zijn er 2(22—3) c^ die c/totdubbel- 
raaklijn hebben, waarvan B een der raakpunten is. Het tweede 
raakpunt, R, valt met B samen als d vierpuntige raaklijn, dus B 
undulatiepunt wordt. Dit geschiedt zesmaal; bijgevolg is de meet- 
kundige plaats {R)b der punten R een kromme van den graad 2n, 
met zesvoudig punt B. 
Elke rechte d snijdt de c«, welke zij in B en in R aanraakt, nog 
in (22—4) punten S. Om de meetkundige plaats {S)b dezer punten 
te bepalen, voegen wij eiken straal d toe aan de 2(22—3) krommen 
waarbij hij behoort, en beschouwen de figuur voortgebracht door 
de aldus bepaalde stelsels [c’‘] en ((/). 
Door een punt P gaat een bundel van c” ; het basispunt B is 
raakpunt van ( 22 — 3)(22+4) diibbelraaklijnen ; dit getal is de index 
