1035 
Wordt het stelsel [y 3 ] als de cyclographische afbeelding van een 
oppervlak £2 beschouwd, dan is c 5 de orthogonale projectie van een 
op £2 gelegen kromme p 10 . Deze heeft met de door P en Q bepaalde 
orthogonale hyperbool p 2 (§ 2) 20 punten gemeen. Daarvan liggen 
er 10 op de kromme d 2 x (§ 2), welke de asymptoten afbeeldt; de 
overige 10 vormen 5 paren polen van cirkels door P en Q. Dus 
gaan door twee gegeven punten vijf cirkels y 3 . 
De omwentelingskegel o> 2 (§ 3) met top P heeft met £2 gemeen 
de krommen d 2 ^ en p 10 ; dus is £2 een oppervlak van den zesden 
graad. Hieruit volgt, dat elk punt van het vlak r centrum is van 
drie osculatiecirkels. 
6. Zij S het snijpunt van een ft 2 met den osculatieeirkel, die B 
tot raakpunt heeft, u een straal door B evenwijdig met een der 
assen van [V. Om te «onderzoeken hoe vaak een door B getrokken 
rechte k osculatiekoorde wordt, voegen wij het spiegelbeeld s van 
k ten opzichte van u toe aan de rechte t, welke f in B aanraakt. 
Bij een rechte t belmoren twee rechten u, maar slechts één rechte 
s ; een straal s bepaalt met k twee rechten u, maar slechts één f, 
dus één straal t. De twee coïncidenties s = t belmoren bij twee 
kegelsneden, welke k tot osculatiekoorde BS hebben. Daar B top 
is van drie /3 2 , dus driemaal met S samenvalt, zal de meetkundige 
plaats van S een kromme ö 5 zijn, die een drievoudig punt in B 
en dubbelpunten in de overige basispunten heeft. Zij gaat tevens 
door de cirkelpunten /, J op l^, want op de door / gelegde /? 2 
behoort dat punt als punt S tot alle osculatiecirkels. 
Wij kunnen nu gemakkelijk de vijf cirkels y 3 aanwijzen, welke 
door twee basispunten B x , B 2 gaan : twee osculeeren in B x en snijden 
in B 2 , twee osculeeren in B 2 en snijden in B x , de vijfde bestaat 
uit B X B 2 en l x . 
Dat elke rechte l osculatiekoorde is voor vijf cirkels y 3 kan aldus 
aangetoond worden. 
Trekt men in elk punt L van / de raaklijn t aan de f door L, 
dan verkrijgt men een stralenstelsel met index 3; immers l wordt 
door twee f aangeraakt, is dus dubbelraaklijn van de door t om- 
hulde kromme. Door L trekken wij de rechten u en u' evenwijdig 
aan de assen van f en de rechten v en v' , die de hoeken tussehen 
/ en t middendoor deelen. Wanneer het lijnenpaar v, v' samenvalt 
met u, u' , dan is / osculatiekoorde van [j 2 . 
Worden t, u, u' , v, v' , met behoud van hun richtingen, overgebracht 
naar een punt O van l, dan ontstaat in den stralenbundel (O) een 
verwantschap (4,6). Want een straal u bepaalt (§ i) één dus 
