1228 
3. Tot het net [<2> s ] behoort liet oppervlak JS 18 , dat een dubbel- 
punt heeft in een punt S van u 3 . Dit nodale oppervlak bepaalt 
met elk ander oppervlak van het net een q\ die o 3 in S snijdt, is dus 
de meetkundige plaats der (/, welke door het singuliere punt S gaan. 
De oppervlakken J£\ 3 en 2 2 3 hebben s, o 3 en een q 5 gemeen, 
dus gaat door twee punten >$,, S 2 van ö 3 een De groepen van 
acht punten, welke de krommen der congruentie op ö 3 bepalen, 
vormen dus een involutie van den tweeden rang. Hieruit volgt, dat 
0 3 door 18 krommen q 6 wordt geoscilleerd, en 21 paren S lt S 2 bevat, 
waardoor telkens oo 1 krommen F gaan. Er zijn dus 21 oppervlakken 
<P\ die ieder twee op o 3 gelegen dubbelpunten bezitten. 
Een rechte door den top S der monoïde 2 3 snijdt deze nog in 
een punt P en het vlak cp door F x , F 2 , F 3 in een punt P' , dat wij 
als beeld van P zullen beschouwen. Daar door elk punt P één q 3 
gaat, worden de op £ 3 gelegen krommen der congruentie afgebeeld 
door een bundel van rationale krommen cp 4 . Elke F heeft met den 
doorgang cp 3 van U 3 de vijf punten gemeen, waarin de overeen- 
komstige q 5 het vlak cp snijdt; de overige zeven snijpunten van cp 3 
met cp 4 zijn basispunten van den bundel (F). Daartoe behooren de 
punten F l ,F 2 ,F 3 ; de overige vier zijn doorgangen van vier rechten, 
die op 2 3 liggen. Een van hen wordt door elke (> 5 in S en in een 
punt P gesneden, is dus een singuliere bisecante p der congruentie; 
de involutie, welke de oo 1 F op haar bepalen, is parabolisch; we 
zouden p dus een parabolische bisecante kunnen noemen. De overige 
drie rechten d 3 , d 3 door S zijn gemeenschappelijke trisecanten 
der krommen j> 5 ; ook op deze singuliere trisecanten is de involutie 
der steunpunten ontaard, want elke groep bevat het punt S. 
De monoïde 2 3 bevat nog twee rechten door S n.1. de beide 
bisecanten van ö 3 , die s snijden, dus bestanddeelen zijn van twee 
in een rechte b en een F ontaarde q 3 . 
De bundel (cp 4 ) heeft drie dubbele basispunten D x , D 2 , D 3 en vier 
enkelvoudige E, F^, F 2 , F 3 -, hij bevat zes samengestelde exemplaren: 
drie figuren, die uit een nodale cp 3 en een rechte bestaan en drie 
paren van kegelsneden. 
Beschouwen wij vooreerst de figuur gevormd door de rechte 
D 2 D 3 en de cp 3 , die een dubbelpunt in D x heeft en door de overige 
zes basispunten gaat. Zij is het beeld van een figuur, die uit een 
bisecante b en een rationale q 4 bestaat; immers het vlak door c/ 3 en 
d 3 heeft met 2 3 nog slechts een rechte gemeen, zoodat D 2 D 3 niet 
het beeld kan zijn van een kegelsnede door S. Op Z 3 liggen dus 
drie rechten b, die niet door S gaan, en bijgevolg drie krommen 
F door S. 
