1231 
qp 3 twee niet op ö 3 gelegen punten gemeen hebben, dus singuliere 
bisecanten zijn. 
Deze vier rechten b liggen op het oppervlak 77 dat de meetkundige 
plaats is van de pnntenparen, welke de krommen van [o 5 ] gemeen 
hebben met hun koorden, die door het punt P gaan. Blijkbaar is // 
een oppervlak van den zesden graad, met viervoudig punt P, waar- 
van de raakkegel met k 4 samenvalt. 
77 8 bevat s en o 3 , heeft dus met een willekeurige p 5 vier punten 
van s en acht punten van o 3 gemeen; van de overige 18 snijpunten 
liggen 12 op de 6 koorden welke p 5 door P zendt, en 6 in de punten 
F. Dus heeft TP drie dubbelpunten Ft . 
Met den kegel F heeft IP de kromme pp 5 gemeen; de restdoor- 
snede kan slechts uit rechte lijnen bestaan. Hiertoe belmoren de drie 
parabolische bisecanten PFt en de vier singuliere bisecanten b. 
Hieruit volgt, dat de drie triseeanten d, welke pp 5 door P zendt, 
dubbelrechten van 11" zijn. 
Voor een punt *8 der singuliere kromme o 3 ontaardt TP in de 
monoïde 2 3 en een kubischen kegel k 3 , gevormd door singuliere 
bisecanten b. De rechten b vormen dus een congruentie van de vierde 
orde, met singuliere kromme o 3 , dus van de negende klasse. 
7 . Het oppervlak A gevormd door de p 5 , die een rechte / snijden, 
heeft de p 5 , die haar tweemaal snijdt, tot dubbelkromme. Daar l 
elke monoïde TE 3 driemaal snijdt, zijn s en o 3 drievoudige lijnen 
op A. De doorsnede van A met het vlak (F^) bestaat uit de drie- 
voudige rechte s en uit drie kegelsneden oj ; hiervan gaat een door 
den doorgang van /, de andere twee worden bepaald door de beide 
krommen p/, die op l rusten. Dus is A een oppervlak van den 
negenden graad, met drievoudige punten in F x , F 2 , F... 
Op A 9 liggen 15 rechten, 9 kegelsneden, 9 krommen o 3 en 15 
rationale krommen p 4 . Immers / snijdt 4 bisecanten b, il krommen 
p 4 ; 3 kegelsneden en 6 krommen p 3 . 
Een vlak A door / snijdt ./P volgens een kromme F ; deze heeft 
met / de punten gemeen, waarin / wordt gesneden door de o 5 
welke l tot bisecante heeft. In elk der overige zes punten wordt A 
geraakt door een p 5 der congruentie. 
De meetkundige plaats der punten, waarin een vlak (p door krom- 
men o 5 wordt aangeraakt, is dus een kromme <f ' . Zij is de coinci- 
clentiekromme der quintupelinvolutie, welke [o 5 ] op (p bepaalt. De 
doorgangen S*, S l; >S 2 , S A der singuliere lijnen s, o 3 zijn blijkbaar 
dubbelpunten van F’. 
Met het oppervlak A 9 , behoorende bij een willekeurige rechte /, 
