1235 
gangen van <i 12 , s lt s 2 ) en zes singuliere punten der eerste orde (de 
doorgangen van c/ 13 , r/ 14 , f/ 23 , d, 2i , g 3 , gp bezit. Zij is nader beschre- 
ven in mijn arbeid over „Kubische involuties in het vlak”. x ) 
3. Beschouwen wij thans de congruentie [o 3 ], die drie funda- 
mentnalpunten F l: F 3 , F 3 en vier singuliere bisecanten s } , s /, s s , s 3 
bezit, waarvan de eerste twee door F x , de andere twee door F 2 gaan. 
Ook hier zijn gemakkelijk twee quadratische kegelbundels aan te 
wijzen, welke haar kunnen voortbrengen, terwijl de vier rechten s 
wederom singuliere rechten van de tweede orde zijn. 
De ontaarde figuren (d, <ƒ 2 ) vormen thans de volgende groepen : 
A. De kegelsnede d 2 gaat door F ?j en rust op de vijf rechten 
d X2 F- F 2 , s x ,-s x ', s 2 , s 2 ; de meetkundige plaats van d 2 is het 
kubisch regelvlak A 3 , waarvan <7 12 de dubbelrechte, de tweede trans- 
versaal t der rechten s de enkelvoudige richtlijn is. Het wordt geheel 
bepaald door de rechten s en de transversaal uit F 3 over <r/ 12 en t. 
B. In het vlak (,? 2 , s 2 ) ligt een bundel (ft 2 ), die F 2 en de door- 
gangen van s x , , 9 / en d 13 tot basispunten heeft. Elke dezer d 2 vormt 
met d lt een figuur o 3 . 
Analoog is d 23 te combineeren met een ft * 2 van een in het vlak 
{s x , s x ) gelegen bundel. 
C. De rechte t kan gekoppeld worden aan elke kegelsnede d" 
door F x , F 2 , F 3 , die t snijdt. 
D. In het vlak (F s s x ) ligt een (d 2 ), die F x , h\ en de doorgangen 
van s 2 , sj tot basispunten heeft. De overeenkomstige rechte d gaat door 
F 2 en rust op s/. Beide bestanddeelen van ( d , d 2 ) zijn veranderlijk. 
Analoog bevat elk der vlakken (i< 3 .s,'), (F 3 s 3 ), (F 3 s 2 ) een (d 2 ) ; de 
overeenkomstige stralenbundels liggen in de vlakken (FjS^^F^^dF^s,). 
Ook hier vormen de figuren d" een meetkundige plaats van den 
tienden graad. 
De doorsnede van het vlak F 1 F 2 F 3 met het oppervlak A bestaat 
thans uit een kegelsnede (die op / rust), de rechten F x F 3 en F 2 F 3 
(behoorende bij figuren d 2 , die l elders snijden) en de rechte F l F 2 , 
die drievoudig is, omdat A 3 drie d 2 bevat, welke op l rusten. De 
rechte / bepaalt dus een A 7 , welke r/ 12 tot drievoudige rechte heeft, 
door d, t ,d tt> t gaat en in s x , s x) ,? 2 , sj vier dubbelr echten bezit; F l ,F i 
zijn vijfvoudige punten, F 3 is drievoudig . 
In een willekeurig vlak <b bepaalt deze congruentie een kubische 
involutie met één singulier punt der derde orde, vier singuliere 
punten der tweede orde en drie singuliere punten der eerste orde. 2 ) 
b Deze Verslagen, deel XXII, bl. 872 (§ 6). 
2 ) Ze is nader b schreven in mijn boven aangehaald opstel (Versl. XXII, § 13). 
