1238 
De tweede determinant is uit de eerste afgeleid door de termen 
van de eerste kolom te vermenigvuldigen met x m + n ~' 1 , die van de 
tweede met 2 , . . . , en ze daarna bij die van de laatste kolom 
op te tellen. Tevens blijkt hieruit de bekende identiteit: 
qee:PF 1 + QF„ (4) 
waarin Pen Q hoogstens van den graad (n — 1) en (in — 1) in x zijn. 
Laat nu P 3 een willekeurige geheele functie van x en y zijn van 
den graad r in x (r> m, r > n) ; wij rangschikken F x , P 2 en F 3 
naar de afdalende machten van x en deelen P 3 door F X F . 2 ; noemen 
wij ’t quotiënt q en de rest F 3 , dan is: 
F^qF.Ft + F (5) 
De functie F\ is in x hoogstens van den graad (m n — Ij. 
Uit (4) volgt 
qF' 3 =PF\F 1 + QF\F i (6) 
De termen in ’t tweede lid, wier graad in x hooger is dan 
(m -) - n — 1) moeten tegen elkaar wegvallen. 
Deelen wij dus, na rangschikking naar de afdalende machten van 
x, PF\ en QF\ door P,P 2 , dan zullen de quotiënten eikaars tegen- 
gestelden zijn. 
Dus is : 
PF'A^q^F'+RF, 
QP' 3 P 2 - -qFF\ + SF 3 
Hierdoor wordt (6) herleid tot 
qF' 3 == + SF 2 , (7) 
waarin R en S hoogstens van den graad (n — 1) en (rn — 1) in x zijn. 
Uit deze identiteit is de stelling van Nöther eenvoudig en alge- 
meen af te leiden. 
§ 3. Wij onderstellen nu voorloopt)/, dat alle snijpunten van F l 
en F. 2 enkelvoudig zijn. Is F s — 0 de vergelijking van een kromme, 
die door alle snijpunten van F x en P 2 gaat, dan geldt blijkens (5) 
’t zelfde voor de kromme, voorgesteld door F„' = 0. Wij willen 
aantoonen, dat nu in de identiteit 
p /'V RF, F SF., (7) 
de functies R en S door o deelbaar zijn. 
Wij nemen gemakshalve een der snijpunten 0 tot oorsprong van 
ons coördinatenstelsel aan, dan is y een factor van q. Daar F 3 ook 
door 0 gaat, heeft qF 3 in 0 een dubbelpunt, terwijl F 1 en 1\ daar 
slechts enkelvoudige punten bezitten met verschillende raaklijnen. 
Dit is slechts dan mogelijk, als ook R en S door 0 gaan. 
