1239 
Verdoi' heeft h\ buiten O met de X-as nog (m— 1) snijpunten, 
die niet op F 3 dus wel op S liggen ; eveneens liggen de snijpunten 
van F 2 met de .Y-as, ten getale van (n — 1) op /?. 
Nu heeft de X-as reeds n snijpunten met H en m snijpunten met 
S, alle in ’t eindige gelegen, terwijl R en S in x respectievelijk van 
den graad (n — 1) en (m — 1) zijn. Dus zijn R en S beide door y 
deelbaar. 
Wij kunnen echter op dezelfde wijze aantoonen, dat R en S door 
alle andere factoren van o deelbaar zijn, zoodat wij vinden : 
f; rf x fs'f. 2 ( 8 ) 
Uit (5) volgt nu verder 
= AF j -j- BJ a (9) 
§ 4. ’t Voorafgaande bewijs ondergaat nu slechts geringe ver- 
andering, als F x en F 2 in een of meer harer snijpunten aanraking 
vertoonen, of daar meervoudige punten bezitten. Wij onderstellen in 
de eerste plaats, dat F 1 en F. 2 in een punt 0, dat wij weer als 
oorsprong van ’t coördinatenstelsel nemen, elkaar aanraken ; tevens 
dat ook F a in dat punt dezelfde raaklijn / heeft als F x en F r 
Beschouwen wij weer de identiteit 
qFJ = RF, + SF % • • (7) 
Onderstellen wij, dat de krommen R en S niet beide door 0 gaan, 
dan zouden wij door RF X en SF . 2 , die in 0 de raaklijn l gemeen 
hebben, wèl een bundel kunnen bepalen, waarvan een der krommen 
K in 0 een dubbelpunt heeft ; echter zou K dan niet door / worden 
aangeraakt. Want dan zou K met RF X of SF, daar een snijpunt 
meer hebben, dan deze beide daar onderling bezitten. Nu is echter 
qFJ een kromme uit den bundel, bepaald door RF X en SF,, en een 
harer raaklijnen in 0 valt samen met de gemeenschappelijke raaklijn 
van F x en F 2 . Dus moeten R en S door 0 gaan. 
Evenals in § 3 blijkt nu verder, dat R en S deelbaar zijn door 
y en door alle andere factoren van (>. Dus blijven de identiteiten 
(8) en (9) van kracht. 
Op dezelfde wijze blijkt, dat (9) blijft gelden, als F x en F, in 
eenig punt aanraking van hoogere orde hebben, mits zij daar ook 
met F 3 aanraking van dezelfde orde vertoonen. 
Onderstellen wij eindelijk, dat in een punt 0, dat wij weer als 
oorsprong van ’t coördinatenstelsel aannemen, de kromme F x een 
p-voudig, F. 2 een r/-voudig punt bezit; voorloopig nemen wij nog aan, 
dat F x en F % in 0 geen gemeenschappelijke raaklijn hebben. Van 
81* 
