F t wordt aangenomen, dat zij door alle snijpunten van F 1 en F 3 gaat 
en in O een ( p 9 — l)-voudig punt bezit ; ’t is dadelijk in te zien 
dat de kromme F 3 ', bepaald door (5), aan dezelfde eischen voldoet. 
Beschouwen wij nogmaals de identiteit : 
qF 3 ' = RF, + SF, (7) 
De resultante q bevat den factor yP ( i ; FJ heeft geen termen van 
lageren graad dan (p -j- q — 1). - 
Schrijven wij de vergelijkingen van F 1 en F, aldus : 
J'\ = (y — «!«! {y — <*,%) • • • (y — ct p x) + u [J+ \ + u p - 1 _ 2 + • • • + «« = o 
F % — (y — fca) (y — /?,«) . . . (y — (3 q x) + -f v g+ o + . . . + v n = 0 , 
loaarbij a; =|=> |?/ c , 
dan blijkt uit (7), dat de termen van den laagsten graad in R, 
minstens van den graad q, die in S minstens van den graad p 
moeten zijn. Want was R of S van lageren graad, dan zouden de 
termen van den laagsten graad in RF 1 en SF 2 niet tegen elkaar 
kunnen wegvallen en dan zouden dus in RF 1 + SF 2 termen van 
lageren graad dan (p-\ -q) moeten voorkomen. Dus heeft R een 
(y-voudig, S een p-voudig punt in 0. Bovendien gaat R nog door 
alle punten, die F. z — ten getale van (n — q) — buiten 0 met de 
A-as gemeen heeft; de functie R bevat dus den factor y. Eveneens 
is y een factor van S en wij kunnen dus beide leden van (7) door 
y deelen. Daarna kunnen wij evenwel dezelfde redeneering nogmaals 
houden en zoo voortgaande aantoonen, dat beide leden van (7) door 
yP'i deelbaar zijn. 
Zoo zijn weer alle factoren van q op R en S deelbaar en wij 
vinden ook in dit geval 
F % = AF j 4- BF ^ (9) 
Ten slotte kunnen wij nog aannemen, dat F l in 0 een p-voudig, 
F. 2 daar een y-voudig punt bezit, dat zij bovendien in 0 aan een der 
takken aanraking van een willekeurige orde hebben. Op dezelfde 
wijze redeneerende als hierboven, vinden wij, dat ook nu de iden- 
titeit (9) blijft bestaan, als slechts F s in 0 een ( ])-\-q — l)-voudig 
punt heeft on bovendien in 0 met F 1 en F 2 aanraking van dezelfde 
orde heeft als deze onderling. 
Opmerking. Wij hebben aangenomen,- dat in de snijpunten van 
F l en F 2 geen van beide krommen een meervoudig punt met samen- 
vallende raaklijnen heeft. Door Nöther is reeds aangegeven, hoe dat 
geval tot een der hier behandelde kan worden herleid. 
§ 5. Is F t een kromme van den graad r, dan kunnen wij nog 
opmerken, dat de krommen A en B hoogstens van den graad (r — m) 
