1325 
Wiskunde. — De Heer Brouwer biedt een mededeeling aan: 
„Opmerking over inwendige grensverzamelingen” . 
Het begrip van inwendige grensverzameling , ais verzameling der aan 
een fundamentaalreeks van gebiedsverzamelingen gemeenschappelijke 
punten, werd, na te zijn voorbereid door Borel 1 * ), ingevoerd door 
Young 3 ). De beide fnndamenteele theorema’s omtrent deze verzamelingen 
zijn de volgende: 
1 . Een inwendige grensverzameling met een bestanddeel , dat dicht 
in zichzelf is, bezit de continue machtigheid. 
2. Een aftelbare puntverzameling zonder bestanddeel, dat dicht 
in zichzelf is, is een inwendige grensverzameling. 
Het eerste theorema is, aanvankelijk voor het lineaire gebied, later 
voor n dimensies, bewezen door Young 3 ). Van het tweede theorema 
is voor het eerst een bewijs geleverd door Hobson 4 ). Weliswaar 
namelijk kan dit theorema worden beschouwd als gevolg van de 
volgende een weinig vroeger door Young 5 6 * ) uitgesproken stelling: 
3. Bij elke puntverzameling Q bestaat een inwendige grens- 
verzameling, die behalve Q slechts grenspunten van de totale inhaerentie °) 
van Q beval ; 
doch het van deze eigenschap door Y'oung 5 ) gegeven bewijs berust 
op de hulpstelling: „Elke der opvolgende adhaerenties') eener punt- 
verzameling bestaat uitsluitend uit punten, die grenspunten van elke 
voorafgaande adhaerentie zijn", en deze hulpstelling is door Young 
foutief bewezen 8 9 ), zoodat de prioriteit voor het bewijs van theorema 
2 ongetwijfeld aan Hobson toekomt. 
Men kan echter tot theorema 2 op een veel eenvoudiger manier 
dan Hobson en Young geraken door middel van het volgende “) korte 
en voor n dimensies geldige bewijs van stelling 3: 
') be^ons sur la théorie des fonctions, p. 44. 
~) beipziger Ber. 1903, p. 288; Proc. bondon M. S. (2) 3, p. 372. 
3 ) Leipziger Ber. 1903, p. 289 — 292; Proc. bondon M. S. (2) 3, p. 372 — 374. 
Niet geheel nauwkeurig worden deze bewijzen gerefereerd door Schoenfiaes, Bericht 
über die Mengenlehre II, p. 81 en Entwickelung der Mengenlehre t, p. 356. 
4 ) Proc. bondon M. S. (2) 2, p. 316—323. 
5 ) Proc. bondon M. S. (2) 1, p. 262—266. 
6 ) Vgl. Cantor, Acta Mathematica 7, p. 117. 
7) Cantor, 1. c. p. 110 
8 ) Quarterly Journ. of Malh., vol. 35, p. 115. De fout ligt in de woorden (regel 
8 — 6 v.o.): „Thus P, being a limiting point of every one of the derived coherences, 
is a limiting point of F". Een ongeveer twee jaar geleden aan mij gericht schrijven 
van G. Chisholm Young bevat een correct bewijs der hulpstelling. 
9 ) Dit bewijs werd ongeveer twee jaar geleden medegedeeld aan Sghoenflies, 
die het (vgl. Entwickelung der Mengenlehre 1, p. 356) heeft overgenomen ter 
