Zur Kristallsymmetrielehre des Diskontinuums. 
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•erledigt, wenn alle einem Raume der Nichtidentität angeliörigen 
Symmetrieelemente angegeben sind. Die, nach dem kristallogra- 
phischen Grundgesetz (das übrigens auch durch die endliche Trans- 
lationsgruppe gewährleistet wird) möglichen und sich gegenseitig 
bedingenden, Kombinationen erhält man unter Berücksichtigung einer 
Reihe von Sätzen, die zweckmäßig zuerst abgeleitet werden. Die 
meisten dieser Sätze lassen sich so formulieren, daß die Beziehungen 
zwischen den einfachen Symmetrieelementen (Symmetrielehre des 
Kontinuums) Spezialfälle davon sind. Sie stellen daher eine ganz 
geringe Mehrbelastung dar und zeigen auch ihrerseits, daß die 
Punktsymmetrie nur ein Sonderfall der Raumsymmetrie ist. 
Folgende seien hier erwähnt (die von Schoenflies angegebenen 
'Sätze sind selbst Spezialfälle davon): 
1. Zwei unter einem Winkel - stehende zweizälilige Achsen- 
scharen (kreuzend oder schneidend) bedingen darauf senkrecht 
stehende n-zählige Achsen ; gleichzeitig entstehen zweizählige Achsen- 
scharen von im ganzen n -Richtungen, die aller einer Ebene p 
parallel sind, bezw. (schneidend) in ihr liegen. Einem Projektions- 
punkt (0) der Kreuzungen von Achsen aller n-Richtungen auf p 
(bezw. deren Schnittpunkt) ist dann im Abstande OA (in p liegend) 
-eine senkrecht auf p stehende n-zählige Achse zugeordnet, wenn 
vlie von A auf die Projektion der n zweizähligen Achsen gefällten 
Lote jede Achsenprojektion in der Hälfte ihres Schraubungskom- 
ponentenabstandes von 0 aus treffen 1 . Die Schraubungskomponente 
■der n-zähligen Achse ist dem doppelten Abstande zweier um 
gedrehten Achsen gleich. 
Von besonderer Bedeutung für die Ableitung der Vierergruppen 
ist der auf die zweizähligen Achsen bezügliche Spezialfall. Er 
'möge daher einzeln formuliert werden: 
Zwei rechtwinklig zueinander stehende (windschief oder schnei- 
dend) zweizählige Achsenscharen bedingen auf beiden senkrecht 
stehende zweizählige Achsen, die von der Projektion der Kreuzung, 
bezw. dem Schnittpunkt, um je den halben Schraubungskomponenten- 
betrag entfernt sind 2 . Die Achsen besitzen selbst eine Schraubungs- 
1 Schneiden sich die n zweizähligen Achsen in einem Punkt, so wird 
der Kreuzungspunkt zum Schnittpunkt selbst, die Projektionsebene zur 
Ebene der zweizähligen Achsen. 
Sind alle zweizähligen Achsen Drehungsachsen, so geht die n-zählige 
Achse durch den Schnittpunkt der zweizähligen Achsen, bezw. bei wind- 
schiefer Lage durch den Kreuzungsprojektionspunkt. 
2 Stets in geometrischer Auffassung : Abstand = Diagonale eines aus 
den halben Schraubungskomponenten gebildeten Parallelogramms, bezw. 
<hier) Rechteckes. Die Projektion bezieht sich auf eine zu den Ausgangs- 
.uchsen parallele Ebene. 
