Zur Kristallsymmetrielehre des Diskontinuums. 317 
erster Art sein, dann gehören zur Parallelschar außerdem 3 nicht- 
identische zweizählige Achsen. 
7. Jede Parallelschar von spiegelnden Ebenen besteht aus 
zwei nichtidentischen Ebenen. 
8. Jede Parallelschar von Symmetriezentren besteht aus 8 
nichtidentischen Symmetriezentren. 
Es tritt somit kein Symmetrieelement einzeln im Raume der 
Nichtidentität (großer Fundamentalbereich) auf. Die Scharen selbst 
können sich noch in verschiedener Weise aus Schraubenachsen und 
Drehungsachsen oder Gleitspiegelebenen und Spiegelebenen kom- 
binieren. Und schon hier zeigt sich, wie eine bestimmte Kombination 
zu einer besonderen Form des Tripels primitiver Translationen 
führt, derart, daß eine vorgängige Ableitung der Raumgittertypen 
unnötig ist. 
Es sollen beispielsweise alle Raumsysteme gebaut werden, 
die lediglich parallele zweizählige Achsen besitzen. Die Achsen 
können Schraubenachsen, oder Drehungsachsen und Schraubenachsen 
oder Drehungsachsen allein sein. Welches sind die möglichen Kom- 
binationen und Anordnungen? 
Zunächst seien nur Schraubenachsen vorhanden. Durch den 
Punkt A (Fig. 2) gehe senkrecht zur Zeichen ebene eine zwei- 
zählige Schraubenachse (a) mit einer bestimmten Ganghöhe , die 
ja zugleich den Abstand identischer Punkte in der Achsenrichtung 
ergibt. Von den Abständen zwischen parallelen zweizähligen 
Schraubenachsen greife ich die zwei kürzesten heraus, die betreffen- 
den, im übrigen beliebigen, Richtungen seien mit x und z bezeichnet. 
Durch B gehe die nächste zweizählige Schraubenachse (b), die 
a parallel läuft und daher nach dem Satz über die Identitätsab- 
stände gleiche Ganghöhe besitzt. Diese Schraubenachse b hat zur 
Folge, daß im Abstande 2 AB = AA' eine zweizählige Schrauben- 
achse a' einsticht, die mit a identisch ist. (Zu jedem Punkt auf 
der Achse a gehört ein identischer Punkt auf a' und umgekehrt. Die 
Anordnung setzt sich in dieser Richtung von selbst ins Unendliche 
fort. Auf x gehe die a nächste zweizählige Schraubenachse e 
durch C. Sie bedingt durch A" (AA" = 2AC) eine mit a iden- 
tische zweizählige Schraubenachse a". Der Satz von den Identitäts- 
abständen ergibt nun ohne weiteres die Achsen b', c', a'". Da 
aber a und a'" identisch sind, geht durch die Mitte von AA'" 
notwendigerweise eine weitere zweizählige Schraubenachse d. 
In der zu den Achsen senkrechten Ebene (Zeichnungsebene) 
umfaßt, wie sich leicht beweisen läßt, das Parallelogramm die ge- 
samte Nichtidentität. Das Parallelepiped mit der Ganghöhe der 
Schraubenachse als Höhe umfaßt gleicherweise die gesamte Raum- 
nichtidentität. Durch dieses Parallelepiped kann aber keine neue 
Schraubenachse gehen, da wir ja vorausgesetzt haben, AB und AC 
seien die kürzesten Abstände. Würden wir in irgend einem Punkt 
