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J. Beckenkamp, 
bilden, legen dann eine vierte Kugel so darüber, daß ihr Mittel- 
punkt genau senkrecht über dem Schwerpunkt des gleichseitigen 
Dreiecks liegt, so bilden die vier Kugelmittelpunkte ein reguläres 
Tetraeder. Errichten wir ferner in der Mitte der vier Tetraeder- 
flächen Lote auf diesen und bringen vier weitere Kugeln so an, daß 
sie die drei Kugeln der betreffenden Tetraederseite berühren, so 
liegen die neuen Mittelpunkte in den ge- 
nannten Loten. Das Gesamtsystem der Kugel- 
schwerpunkte bildet ein vierfach kubisches 
Gitter. 
Das doppelt kubische Gitter kann nicht 
nur in zwei sich durchdringende einfach 
kubische, sondern auch in vier sich durch- 
dringende vierfach kubische Gitter zerlegt 
werden. 
Fig. 5. Kubooktaeder. Der von den nächstbenachbarten Gitter- 
punkten begrenzte Kaum, der „Elementar- 
körper“ bildet bei dem einfach kubischen Gitter ein Hexaeder, 
beim doppelt kubischen ein Granatoeder, beim vierfach kubischen 
ein Kubooktaeder (Fig. 5). 
Betrachten wir den regulären Würfel als ein Rhomboeder R w , 
so ist der Elementarkörper des einfach kubischen Gitters wieder 
ein Rhomboeder R w , der Elementarkörper des doppelt kubischen 
Gitters ist dann aber — |R W , der des vierfach kubischen Gitters 
-f- 4R W . 
Umgeben wir die Punkte eines regulären Gitters mit kon- 
gruenten Paralleloedern, welche sich gegenseitig berühren, so nennt 
man diese Paralleloeder die „Molekelsphäre“ des betreffenden 
Punktes. 
Bilden die Molekelschwerpunkte ein einfaches Gitter, so ist 
die (primäre) „Mol ekel Sphäre“ ein Hexaeder; bilden die Schwer- 
punkte ein doppelt kubisches Gitter, dann ist die Molekelsphäre 
ein Kubooktaeder, bilden sie ein vierfach kubisches Gitter, so ist 
die primäre Molekelsphäre ein Granatoeder. Hexaeder, Granato- 
eder und Kubooktaeder sind die drei einzigen regulären Körper, 
welche sich lückenlos nach allen Richtungen aneinander legen 
lassen. 
Bravais und die Mehrzahl der späteren Autoren waren der 
Ansicht, daß eine Fläche um so häufiger vorkomme, je dichter sie 
mit Massenpunkten besetzt sei. Bei dem einfach kubischen Gitter 
sind dann die Würfelflächen, beim doppelt kubischen die Granatoeder-, 
beim vierfach kubischen die Oktaederflächen am häufigsten zu er- 
warten. Aus der relativen Häufigkeit des Auftretens nicht nur 
der genannten, sondern auch der übrigen einfachen Formen läßt 
sich unter der gemachten Voraussetzung ein Rückschluß auf das 
zugrunde liegende Raumgitter ziehen. 
