523 
gepubliceerde studie van denzelfden schrijver, zij is er als hel ware 
de pendant van. Had de schrijver zich in zijne vroegere verhande- 
ling, getiteld : „Das regel massige Seehshundertzell und seine selbst- 
deckenden Bewegungen”, alsmede in zijn in 1894 verschenen proef- 
schrift, getiteld : „Die Bewegungsgruppen der regelmassigen Gebilde 
von vier Dimensionen”, tot taak gesteld de zes convexe regel- 
matige polytopen van R 4 te projecteeren op de zijvlakken, en dus 
ook zijruimten, van een rechthoekig coördinatenstelsel, thans verricht 
hij hetzelfde voor de 10 ster vormige regelmatige polytopen. 
In eene beknopte Inleiding vindt men allereerst twee tabellen, 
waarvan de eerste, en belangrijkste, in de notatie van Schlafli alle 
gevallen van regelmatige aaneensluiting van regelmatige polyeders 
bevat, onverschillig of die aaneensluiting plaats heeft in het reëele 
of imaginaire gebied van R 4 , en of de betreffende figuren gesloten 
zijn of niet ; zij levert de 6 convexe polytopen, benevens de opvul- 
ling der ruimte R a door kuben, 4 polytopen behoorende tot het 
imaginaire gebied der R 4 , 4 stervormige doch niet gesloten polyto- 
pen, en eindelijk de 10 regelmatige ster vormige polytopen, in den 
titel bedoeld, en die alle met de convexe 600- en 120-cel tot ééne 
familie belmoren. In tabel II vindt men de verhoudingsgetallen van 
de ribbe tot den straal van de omgeschreven hyperspheer voor alle 
in de eerste tabel voorkomende polytopen. 
In eene volgende tabel vindt men voor de 10 stervormige poly- 
topen de kenmerkende getallen, n.1. het aantal hoekpunten, ribben, 
zijvlakken en zijruimten, terwijl ter vergelijking zijn toegevoegd de- 
zelfde getallen voor de 600- en 120-cel; er blijkt uit: 1°. dat 9 van 
de 10 polytopen de hoekpuntengroep van de 600-cel bezitten, terwijl 
slechts één de hoekpuntengroep der 120-cel vertoont ; 2°. dat ver- 
schillende polytopen onderling hetzelfde ribbengeraamte bezitten ; en 
3°. dat als men de symbolen der 10 stervormige polytopen en der 
beide convexe op bepaalde wijze in twee rijen onder elkaar schrijft, 
door eene eenvoudige omzetting van twee getallen de eene rij in de 
andere overgaat. 
In § II behandelt .de schrijver de stervormige 600-cel met 191- 
voudigen mantel, het eenvoudigste der 10 stervormige polytopen, 
ontdekt door Schlafli, en door hem uitvoerig bestudeerd in zijn 
nagelaten werk : „Theorie der vielfaehen Kontinuitat” ; ingevolge 
eene reeds vroeger door den schrijver gemaakte opmerking konden 
de projecties dezer cel onmiddellijk uit Tafel V der vroegere ver- 
handeling worden afgeleid door zekere convexe denhoeken in ster- 
vormige te veranderen. 
Eindelijk worden in de §§ UI en IV de overige polytopen bespro- 
3)5° 
