« argent à la tour de gueules ouverte & ajourée de 
fable , qui efl de Gevaudan ancien ; au fixieme & der- 
nier quartier de fable au lion dé argent , a la bordure en- 
grêlée de même y qui efl de Beauvoir. 
De Cadrieu, en Guyenne ; d'or au lion couronné y 
parti de gueules & de fable. 
De Lemps de la Touviere, en Dauphiné ; parti 
â' or & de gueules , au lion de /’ un à C autre. {G. D. L. T 
PARTIELLES , équations aux différences partielles. 
( Calcul intégral. ) On appelle ainfi. des équations 
qui , contenant trois ou plus de trois variables x , y... 
I O contiennent des différences de prifes en 
ne faifant varier que x , & des différences prifes en 
ne faifant varier que y , ou bien des différences prifes 
en faifant tout varier , & des différences prifes en ne 
faifant varier que x ou y. 
La différence de i prife en ne faifant varier que y, 
s’écrit dy; la différence de en ne faifant varier 
que x , s’écrit d x , &c. ou bien , fi d { exprime 
ou la différence totale de ou fa différence prife 
par rapport à x, on défigne par dç la différence de i 
prife en ne faifant varier que y, & alors ddç eft la 
différence de prife en ne faifant varier que y, & 
ainfi de fuite. 
M. d’Alembert efl l’inventeur de cette branche de 
l’analyfe , fans laquelle on ne pouvoir réfoudre d’une 
maniéré rigoureufe Sz générale les problèmes où il 
s’agitde corps fluides ouflexibles. Cettedécouverte, 
auffi importante & peut-être plus difficile que celle 
du calcul intégral, n’a été moins éclatante que parce 
que fon auteur a exprimé une chofe toute nouvelle 
par des mots & des Lignes déjà connus. 
Le premier problème de cette nature qui ait été 
réfolu , efl celui dont l’équation efl d -dl — —il a 
, ... 1 dxZ dy 1 ’ 
étant un coefficient confiant , le problème fe réduit 
à trouver ç lorfqu’on fait que a ^d x + dy & 
f d x + id y, font toutes deux des différentielles 
exades ; en effet , on a alors a^= d -^.,Szpé == il f 
^ 011 a Tfé— d~xx' P° ur fatisfaire à ces deux condi- 
tions, on multiplie une de ces fondions par un coef- 
ficient b , & puifqu’eiles font toutes deux des diffé- 
rentielles exactes , leur fomme &z leur différence 
feront auffi des différences exades, j’aurai donc 
azdx + {'dy + bffdx+b£dy 9 
a { d x -f- £ d y — b dx — b ^ dy , 
ou bien 
(adx-j- b dy') (b dx + dy)ff 
{ adx-bdy ) i~(bdx - dy'jff, 
©u enfin , 
Çadx + bdy') Çadx + £ dy'ÿ-i' 
(y adx-bdy ) c +Ç adx- \ d y'\ , 
qui font des différentielles exades ; donc fi b — — 
T- T" .. .. ■ - b 
on aura adx + b g^^adx- 
bd y, qui feront des différentielles exades; donc 
1+ i' = ç a x + b y, i — ~ ff — y' a x - b y , 
donc r — i± x + b -y + C ax - t’y 
Cette méthode a été appliquée par fon auteur à 
des cas plus compliqués où ç & ç 7 font multipliés 
par des fondions de x, & à ceux qui s’y rappellent 
par des fubftitutions. Elle conduit diredement à 
trouver les fondions arbitraires p & <p 7 , & avant 
eue on ignoroit qu’il dût entrer de pareilles quan- 
tites dans les intégrales de ces équations. 
A . Emer a depuis intégré pîufieurs de ces équi- 
pons par une méthode qui lui efl particulière ; elle 
confifle à fuppofer que { = (npy-f Z-^.~ 
x 
dy 
+ c d ~éJj . 9 &c. X , a , b , c , &C. étant des fonc- 
tions de x, lorfque la propofée efl linéaire & ne 
contient pas y, on trouve toujours par ce moyen 
une folutiort de la propofée du moins en une fuite 
infinie. 
M. de la Grange réfout les mêmes équations , eft 
fuppofant que l’équation multipliée par JE, fon dion 
de x & intégrée par rapport à x feulement, de- 
vienneyine différentielle exade, il refiera alors fous 
le figne une fondion qui ne contient que 
on fera f ip = s , & on aura s par une équation li- 
néaire aux différences ordinaires prifes par rapport à 
y,&/>par une équation aux différences ordinaires pri- 
fes par rapport à x ; ces équations étant réfolues , on 
verra, en examinant la valeur de 5, que pour ne 
pas la limiter, & laiffer aux arbitraires qui y font 
l’étendue qu’elles doivent avoir , on fera obligé d’in- 
troduire des fondions arbitraires dans la valeur de ç. 
Voici maintenant des remarques générales fur la 
nature de ces équations ; elles indiqueront la mé- 
thode qu’on pourroit prendre pour en trouver la fo- 
lution en général. 
i°. Soit Z l'intégrale d’une équation aux diffé- 
rences partielles, il efl clair que fx cette équation 
efl du premier ordre elle pourra être fuppofée de 
la forme 
AdZ + BdZ + CZ-=o, 
A , B ,C ne devenant pas infinis lorfque Z — o ; que 
fi elle efl du fécond ordre , on pourra la fuppofer de 
la forme Ad 2 Z + Bd&Z + CààZ+DdZ-\- 
E à. Z F Z — o , & ainfi de fuite ; que par confé- 
quent on pourra fuppofer AdZ + B à Z -j - C Z 
foit mis fous la forme d.A' Z -{- Ç> d .A' Z , mais 
qu’on ne pourra point fuppofer que l’équation du 
fécond ordre foit en général fufceptible de la forme 
d. ( A ' dZ + B ' d Z + C 7 Z ) -f Q. 
(d. (A'dz+n 1 dz + c' z))=t,. 
En effet , il n’y a dans cette derniere forme que 
quatre coëfficiens indéterminés, & pour qu’elle con- 
vienne avec la forme générale, il y a cinq équations 
de comparaifon. 
La même chofe aura lieu, à plus forte raifon, 
pour les ordres plus élevés ; ainfi on ne peut pas 
trouver en général une équation d’un ordre moindre 
d’une unité dont la différentielle par rapport à d, 
combinée avec la différentielle par rapport à d, 
puiffe produire la propofée. 
i°. La propofée du fécond ordre efl produite par 
la combinaifon des fix équations Z~Oy dZxxo , 
d Z — o , dd Z — o , aldZ™o,ddZ = o,& celle 
de l’ordre n par , équations femblables ; donc 
pour le fécond ordre on peut faire difparoître cinq 
confiantes arbitraires , & 1 • p 0ur 
l’ordre n. 
# 3 g - La comparaifon de deux équations d’ordres 
différens ne peut faire évanouir des fondions arbi- 
traires de variables , parce que l’une contient une 
différence de ces fondions plus élevée que celle qui 
fetrouve dans l’autre ; mais la comparaifon d’équa- 
tions du même ordre peut en faire difparoître. Ainfi , 
la combinaifon des deux équations du premier ordre 
peut en faire difparoître une, la combinaifon des 
trois équations du fécond ordre peut en faire difpa- 
roîire deux, & celle des n -j- i équations de l’ordre n, 
en peut faire difparoître n. Soit m < n & que ] a com- 
paraifon des m -j- i équations de Tordre m , a fait dif- 
paroître m de ces fondions; la combinaifon des équa- 
tions plus élevées n’en pourra faire évanouir plus de 
H h ij 1 
