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n — m , parce qu’ alors l’équation de l’ordre m dont 
les fonctions arbitraires ont été éliminées , fera une 
intégrale qui ayant été différentiée un nombre n — m 
de fois, produira la propofée. 
4°. Il pourra y avoir dans î’mtégrale finie un 
nombre - i j e f on ftj ons tranfcendantes 
2 . 
formées les unes des autres comme celles qui entrent 
dans les intégrales des équations aux différences or- 
dinaires, & toutes celles de ces fondions qui ne fe- 
ront pas une fondion logarithmique , ajoutée à une 
fondion arbitraire <p A , ou une fondion qui entre 
dans A fms fe trouver dans d A ou dans — , pourra 
être éliminée après <p A 9 6c on en aura une valeur qui 
ne contiendra pas <p A. il y a auffî des cas ou il peut 
difparoître un nombre indéfini de tranfcendantes ; foit 
en effet par exemple <p A une fondion arbitraire , l’in- 
tégrale pourra contenir VA 1 - j~ V A " q- F" A"' 9 
6cc. -y® A. A \ A u yA'", &c. étant des fondions al- 
gébriques de A &C V y V\ F l \ &c. des fondions dont 
les différences font algébriques. En effet, il eff aifé de 
voir que dans ce cas toutes les tranfcendantes conte- 
nues dans cette fondion, doivent s’éliminer en même 
tems que $A.i\y aura des formules femblables dont 
les tranfcendantes difparoîtront avec les arbitraires, 
mais par un plus grand nombre de différentiations. 
5°. Si on a une fondion <p A que la comparaifon 
de deux équations ait fait difparoître , les coëfficiens 
des variables pourront être dans l’intégrale des fonc- 
tions de A , <p A , &c. données par des équa- 
tions différentielles indéfinies entre ces fondions & 
A , <p A , Sec. Mais comme cp.A eft tout ce 
qu’on veut, on peut toujours regarder ces coëfficiens 
comme des fondions algébriques de A q> A , 
&c. l’ordre des différences de <p A étant indéfini. Ces 
fondions ne difparoiffent que parce qu’on axtoujours 
d t A d y A 
~"Z5 dT* 
Chacune des fondions arbitraires qui entrent dans 
la propofée peut être fuppofée s’évanouir après 
toutes les autres , à moins que la fondion qui dif- 
paroit par la comparaifon de deux équations, ne foit 
de la forme ■> 9 011 ^’ une f° rme Sem- 
blable, parce qu’alors on peut ajouter à <p A une 
fondion A \ pourvu que dA' 1 =:dA lx 6cdA l2 ' 
z= d A 2 , Sic. équations plus étendues que A — A' . 
6°. Lorfqu’on a une intégrale de la propofée, on 
peut toujours s’affurer fi elle eff: complette ou nçn ; 
en effet, faifant difparoître les arbitraires ou fonc- 
tions arbitraires qui s’y trouvent , par des différentia- 
tions fucceflives , enforte qu’on foit fur que l’inté- 
grale de l’équation ainfi produite n’en contient pas 
d’autres que celles qui fe trouvent dans l’intégrale 
donnée ; on mettra dans celle-ci pour d” £ 6c fes dif- 
férences , leurs valeurs tirées de la propofée , & l’in- 
tégrale ne fera complette que lorfque tout fe dé- 
truira après cette fubffitution. 
7°- Si on a quatre variables x, y, u Scç , & une 
équation entre ces variables qui contienne des diffé- 
rences premières de ç, prifes par rapport à x , à y 
6c au, il eff clair que fi Z = o, eff l’intégrale de 
cette équation , & que Z contienne une fondion ar- 
bitraire de A & B que j’appelle <p, d Z contiendra 
7 i’ dA + TB dB ’ dZ conti « ndr a fj ^ J +7J d B > 
& d ' Z, -il à' A + d ' B; donc à l’aide de Z=o, 
des trois équations dZ~o,dZ = o,d / Zz~o,on 
peutfaire évanouir une de ces fondions. Le reftefe 
trouvera par analogie comme pour les autres équa- 
tions ci-deffus. Voy. Mém. de Cacad. r/yo- & iyjï. 
La folution générale des équations aux différences 
partielles renfermant par fa nature des fondions ar- J 
P A Pc 
bitraîres des variables, demande pour être appliquée 
à des problèmes déterminés tels que ceux de la na- 
ture j qu’on ait une méthode auffi générale de dé- 
terminer la valeur de ces fondions arbitraires, pour 
que l’intégrale trouvée par le calcul , donne l’équa- 
tion du problème particulier. 
^ Je n entrerai point ici dans le détail de cette me* 
thode , je me contenterai de faire fentir par un 
exemple comment dans tons les cas on peut rappeller 
cette détermination a l’intégration d’une équation, 
partie aux différences finies , partie aux différences 
infiniment petites , ou feulement d’une équation 
aux différences finies. 
Soit une équation en x, y, £, qui contienne deux 
fondions Z 6c Z' de deux fondions déterminées 
A 6c B de x,y, 1 , je fuppofe que faifant a j’aie 
y égale à une fondion donnée de x, j’aurai A & B 
égaux a des fondions de x 9 & une équation en Z , 
Z' 6c x. Je fuppofe enfuite que i = b , 6c que j’aie y 
égale à une autre fondion de x , fubftituant dans ïa 
propofée A 6c B feront d’autres fondions de x que 
j’appelle A 1 6c B &c Z , Z 1 feront Z l Z 1 , Z j 
étant compofé de A * comme Z l’eft de A , & Z', de 
B ' comme Z ' de B j j’aurai donc une nouvelle équa- 
tion en x, Z, & Z'. Je fuppofe que dans cette équation 
qui doit être identique , je mette à la place dex, 
x-f il eff clair que l’équation aura encore lieu; 
je détermine £ par la condition que A” B" étant ce 
que devient A\ B ' en mettant pour x, x -j- A u 
~A, par conféquent Z = Z, éliminant donc Z à 
l’aide des deux équations, j’en aurai une en x Z 1 6c 
Z' ll ,Z' n étant une fondion composée de B 11 comme 
Z 1 eff compôfée de B. 
Je fuppofe enfuite que Z ' tj — Z* - j- A Z', d’oîi je 
tire B n — B-\-&B; donc éliminant x des deux 
équations en Z '6c x, en B -f a B 6c x , j’en aurai 
u ne en B 6c a B , 6c une en Z ' A Z ' 6c x , ou B 9 
d’oîi éliminant x ou R, j’aurai une équation en Z', 
A Z 1 ûzZ' ; intégrant cette équation , elle contiendra 
x', quantité dont la différence finie eff: confiante. 
L’équation en B 6c A B contiendra la même variable 
dans fon intégrale ; donc éliminant x j’aurai Z ' en 
R; donc, 
Par la même raifon, fi j’avois <p x-j- a y — <p x — 
ay — b, 6c -A a l— =zc,{oitx- ay = i,6c&i=: 
2 ay, j’aurai i°. 9{ + A {-? { = 6c faifant 9 ^ 
= Z a Z =b , Z =. , -j- Fe a " , F défignant 
une fondion arbitraire afïujettie aux conditions qui 
ont été développées dans Y article Différences 
finies. 
L’équation — c devient après la même 
fubffitution =: Cn, dont l’intégrale eff ------ 
= ex 1 + F’ e ax> ; éliminant x 7 , j’aurai Z en & 
par conféquent la maniéré dont ç entre dans q> 
Si toutes les fondions font algébriques , les élimi- 
nations dont je viens de parier feront poffibles im- 
médiatement , &l’on aura l’équation définitive en Z, 
A Z, A AZ. Mais fi elles ne font pas algébriques, ii 
faudra différenîier par rapport aux différences infi- 
niment petites. Alors l’équation définitive contiendra 
de plus d Z , d A 1 , Sic. 6c fera aux différences finies 
ÔC infiniment petites. V oye £ cet article. 
Mous obferverons ici que les fondions arbitraires 
des variables ne font pas affujetîies par elles-mêmes 
à la loi de la continuité , c’eff-à-dire , à être femblable- 
ment formées de leur fondion génératrice pour 
toutes les valeurs des variables , mais feulement à 
ce qu’elles difparoiffent toujours des équations; en- 
forte que foit .F une de ces fondions, il faut au mo- 
ment où elle deyiendroit F' 9 que d n F~ d n ou 
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