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riche abbaye de Kuttieva , & plufieurs feigneuries 
parîiculieres. (AG,) 
POSSESSION , ( Méd. Ug. ) Foyei V article Méde- 
cine LEGALE , dans ce Supplément. 
POSSIBLES , équations pojjlbles. ( Calcul intégral J 
On appelle équations pojjlbks les équations différen- 
tielles qui ont des intégrales finies ou d’un ordre 
moindre ; celles qui ne font pas pojjlbles s’appellent 
abfurdes. Cette impoffibilité eft différente de celle 
des racines imaginaires , en ce que celles-ci font ex- 
primées par une formule finie, & que les autres ne 
font fufcepîibîes d’aucune expreffion ; ce qui les fait 
encore différer des fondions qui feroient exprima- 
bles par une férié infinie fans l’être par une formule 
finie , & il y a lieu de croire que les intégrales d’une 
infinité d’équations différentielles pojjlbks font dans 
ce cas. 
Le principe général d’où on déduit cette poffibilité , 
eft que , ft une équation qui eft nulle en même tems 
& qui a la même étendue que la propofée , eft la diffé- 
rentielle exade d’une fondion d’un ordre moins élevé 
d’une ou plufieurs unités , la propofée eft pojjlble. 
Il faut donc d’abord connoître les conditions , 
pour qu’une fondion foit une différentielle exade. 
M. Fontaine & M. Euler font les premiers qui 
aient déterminé ces équations pour le premier ordre, 
où les fondions font de la forme A dx ft- Bdy + 
C d{. . ..Tous deux ont déduit leur folution d’un 
théorème de Leibnitz , qui eft le fécond de l’ou- 
vrage de M. Fontaine. Foye i F article Différen- 
tiation par parties , dans ce Suppl. M. Euler a de- 
puis déduit de fa méthode des maximum une con- 
dition qui doit avoir lieu , pour qu’une fondion à 
deux variables, dont une des différences eft con- 
fiante , foit une différentielle exade. J’ai trouvé une 
démonftration direde de ce théorème aufti-tôt qu’il 
me fut communiqué , & j’ai étendu ma méthode à 
des cas plus généraux & qui n’avoient pas encore 
été conlidérés. Je vais en* donner ici une expofition 
abrégée. 
Soit F une fondion des variables & de leurs diffé- 
rences, ft F eft une différentielle exade, on aura 
F— d B & d F— d d B ; & comparant terme à ter- 
me ces deux fondions, comme je l’ai développé 
dans l’art. Maximum , on aura i°. des valeurs de 
dB dB d B d B o l'/r- 
Fx ? d~y * * * * 2 dx 9 dédy * * * * &c - en différences par- 
tielles de F , z°. l’équation identique — d jn.-y 
d z ^r x .... =0 & une équation femblable pour cha- 
que variable. 
Si on veut que B—J'Fio\i aufti une différentielle 
exade, ou aura i°, par ce qui précédé une équation 
en différences partielles de B ; 2 0 . les valeurs de ces 
différences en différences partielles de F : donc en 
fubftituant on aura des équations de condition en 
différences partielles de F , on les trouvera de même 
pour que fB — dB' ; & pour que F—d n B , le nom- 
bre des variables étant m , on aura en tout n m équa- 
tions de condition, & n de moins s’il y a une diffé- 
rence confiance. 
Lorfque^^.onai!, g... 
donnés en F; faifant donc F~ dB 
dix* ddy 
j . dB . 
dx d x dy . . . 
dJx +£ d dy ... on aura B par les quadra- 
tures. 
Si maintenant on a F~o 9 & qu’on cherche ft 
cette équation a une intégrale de l’ordre inférieur, on 
fuppofera que Ad F=àdB,A étant un fadeur, & B 
une fondion de l’ordre inférieur égale à zéro en même 
tems que F, on aura donc , par la théorie ci-deffus , 
l’équation A ^ — d A ~ ft- (T 
d V 
ddx 
AdV 
d 2 * 
, = o & une 
équation femblable pour chaque variable, d’oii en 
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éliminant A , on déduira les conditions cherchées, 
Faifant enfuite A ' & ' = d d B , on aura de nou- 
velles équations de condition fans B , d’oii éliminant 
A' } on aura les équations pour que B = o foit pof. 
ftble , & ainfi de fuite jufqu’à ce qu’on parvienne à 
l'intégrale finie. La propofée a une intégrale com- 
plète , îorfque ces équations font identiques ou ont 
lieu en meme tems que F — o , parce que la con- 
dition de B — 0 Iorfque F eft nul , fuit de la nature 
de la queftion , quoiqu’elle ne paroiffe pas entrer 
dans la recherche des équations de condition. Dans 
tout autre cas , la propofée peut avoir une intégrale 
incomplette qui feroit une équation qui auroit lieu 
en même tems que F— o & les équations de con- 
dition. Le nombre des équations de condition eft 
ici égal pour chaque intégration au nombre de va- 
riables diminué de l’unité, s’il n’y a point de dif- 
férence confiante , & de deux unités s’il y en a une. 
MM. Euler & Fontaine ont donné chacun une mé- 
thode différente pour trouver les équations de condi- 
tion , des équations différentielles du premier ordre. 
Celle du premier confifte à regarder d^ -p A dx + B 
dy = o comme la différentielle exade de £ ft- Fx , y 9 
ce qui donne l’équation de condition ‘j- —■ — 
z*+Tr^ ;mais -r x ~- A &-r y --B ; àoïic &c. 
on voit que cette méthode fuppofe qtie d 1 ft- A d x 
ft- B dy — o ou y — o. M. Fontaine regarde A dx -F 
B dy ft- C d 1 comme une différentielle exade , & 
par la comparaifon des trois équations de condition, 
il parvient à une équation divifible par C. 
On trouvera un plus grand détail fur cette matière 
dans nos Ejjais d’analyj'e, dans les Mémoires de Turin , 
tome 1 F 9 dans ceux de Paris, année 1770. 
On trouvera les équations de condition pour l’in- 
tégralité des fondions , & des équations aux diffé- 
rences finies, par les mêmes principes que ci-defîus 
& par les procédés développés à l 'art. Maximum 
Voyez les Mémoires de d académie , pour l’année 1770. 
On voit en général pour ces équations comme 
pour celles aux différences infiniment petites , que 
ft aucune différentielle n’eft fuppofée confiante , le 
nombre des conditions eft pour chaque intégration 
égal au nombre des variables pour les fondions & 
pour les équations à ce nombre diminué de l’unité ; 
&: ft une différentielle eft confiante , il y aura à cha- 
que intégration une condition de moins. Il fuit de-là 
que Iorfque la propofée eft entre deux variables , 
elle eft toujours pojjlble dans l’hypothefe d’une 
différence confiante ; cette poffibilité ftgnifîe feu- 
lement qu’il y a toujours une différentielle exade 
qui a lieu en même tems que la propofée. Mais cette 
fondion eft-elle toujours la différence d’une fondion 
finie des variables ? Foye £ les articles Quadratu- 
res, Intégral & Différences finies , vers la 
fin , dans ce Suppl. 
On pourroit trouver pour les équations aux dif- 
férences partielles , dans toutes les hypothefes & 
pour toutes les claffes d’équations , des équations 
de condition , d’après les mêmes principes que 
ci - deffiis ; mais je ne m’arrêterai point ici à 
cette recherche , & je me contenterai de donner 
un moyen plus fimple, une équation quelle que foit 
étant donnée , de voir ft elle eft pojjlble. Soit cette 
équation entre 1 , x 1 ,y 1, &c. je mets A +x au lieu 
de xi, & B -y y au lieu dey 1 , A & B font ici des 
confiantes indéterminées. Je fuppofe enfuite que 
l’on 2é\\.qy=.a-y b x -y b 1 y-yc x^- -y c 1 x y -y cny-... 
•y p x m ~y p* x 171-1 y ft- p 11 x 772-2 y 2..,. ft- p ii --” 
y m -F • • • • • 
Je fubftitue cette valeur dans la propofée, fila 
propofée eft pojjlble , alors cette fubftitution Feft 
auffl; il reliera autant de coëftxciens indéterminés 
