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donnèrent les premiers effais de cette folutioîi ana- 
litique qu’on avoit attendue vainement depuis 
foixante ans; mais cette foluîion paroifloit donner 
le mouvement de l’apogée très-différent de ce qu’il 
eff réellement. M. Clairault prétendit pendant quel- 
que îems , que cette différence devoit obliger de 
changer quelque chofe à la loi établie par Newton, 
& M. de Buffon défendit cette loi par des raifon- 
nemens métaphyfiques qu’un adverfaire géomètre 
n’eut pas de peine à détruire. Cependant , M. Clai- 
rault imagina que cette contradiction entre la 
théorie 6c l’obfervation pouvoit venir de ce qu’il 
- n’avoit pas encore pouffé affez loin fa méthode 
d’approximation ; en effet , en prenant un fécond 
terme de la férié, qui donne le mouvement de 
l’apogée, il trouva un réfultat moins éloigné de 
l’oblervation ; mais la férié étoit peu convergente. 
M. d’Alembert , qui aufli bien que M. Euler , 
avoit remarqué d’abord la même contradiction que 
M. Clairault , pouffa beaucoup plus loin le calcul de 
cette férié , & le pouffa jufqu’à un point où elle 
étoit très-convergente , 6c où elle donnoit le mou- 
vement de l’apogée conforme aux obfervations. 
La loi de Newton fe trouva donc hors d’atteinte. 
MM. Clairault & Euler publièrent enfuite leurs théo- 
ries de la lune, & M. d’Alembert fes recherches fur 
le fyftême du monde. Depuis cette époque , la 
plupart des géomètres fe font occupés ou à perfe- 
ctionner ces méthodes ou à en donner de nouvelles. 
Nous allons nous borner à citer leurs principaux 
ouvrages. 
M. d’Alembert & M. Euler ont donné un grand 
nombre de mémoires fur la théorie de la lune .V oyez 
leurs Opufcules , les Mémoires de Petersbourg , de Ber- 
lin , & le Recueil des prix de V académie des Sciences 
de Paris. M. de la Grange a donné une théorie de 
la lune, qui a remporté un de ces prix en 1772. 
Depuis dans une piece , qui a remporté le prix 
en 1775 •> ü a difcuté particuliérement la queftion 
de l’exiffence de l’équation féculaire. Il y a aufli 
une théorie de cette planete par M. Simpfon. 
M. l’abbé Boffut a difcuté la queftion de l’influence , 
de la réflftance de l’éther fur le moyen mouve- 
ment des planètes, & M. Albert Euler celle de la 
gravitation fur ce même mouvement. M. Vais 
Meflei a traité la queftion du mouvement des apft- 
des. Le pere Frifi 6c M. Daniel Melander ont pu- 
blié des théories de la lune , 6c le célébré aftro- 
nome Mayer en a donné des tables fondées en 
partie fur l’obfervation , & en partie fur une théo- 
rie qu’il y a joint. 
MM. d’Alembert & Euler ont aufli donné le cal- 
cul des perturbations de l’orbite terreftre par l’at- 
tra&ion de la lune, 6c M. Euler celui des perturba- 
tions réciproques de mars 6c de la terre. Voyez 
leurs Opufcules 6c les Mémoires de Berlin 6c de Pe- 
tersbourg. 
M. Euler & M. de la Grange ont calculé les per- 
turbations de jupiter 6c de faturne , en vertu de 
leur aélion réciproque , Mémoires de Turin, tome III, . 
Recueil des prix de V académie de Paris . Le pere Bof- 
caritz a publié une differtation fur ce même objet. 
M. de la Grange & M. Bailli ont donné chacun 
une théorie de mouvement des fatellites de jupiter. 
Enfin, M. Clairault, M. d’Alembert 6c M. Albert 
Euler ont donné chacun une méthode pour calculer 
les perturbations des cometes. 
Mais il n’a paru jufqu’ici qu’un fel ouvrage où 
le fyftême du monde foit développé dans toutes 
fes parties. C’eft l’ouvrage du pere Frifi , intitulé 
De gravitait. 
Dans cet excellent ouvrage où il régné beaucoup 
de méthode & d’élégance, fauteur a malheureu- 
sement fait un ufage un peu trop fréquent de -la 
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fynthefe , enforte qu’il eft plus propre à inftruire 
de ce qui a été fait jufqu’ici fur le fyftême du 
monde qu’à mettre les jeunes géomètres en état de 
travailler par eux-mêmes. 
Équations du problème des trois corps dans Chypothef 
du vuide. 
(1) ddxn*P m’ f x d t~ — m' f x f dt 2 - m!' p xdt 1 -f. 
mf' xdt 2 + m'f, x' dt 2 — 0. 
(2) ddy + m' f y dr* m ' f y' dti + m n f y 
in P y d 1 2 -f- m' f , x' d t 2 = o. 
(3) dd{-\- m' f \d ti — m' f f dt* -\-m N ffdt^ 
mf / dt 2 + m' f,f d t*z=o. 
(4) d d x' + mf x' d t 2 — m f x dt 2 -f- m H f, x ' 
d 1 2 + m' f, x' d t 2 - 4- 77 i f x d t 2 = o. 
(5) d d y' -f mf y' d t -x — m f y d tz -f* m" f, y’ 
d z 2 -f- m' f, y' d t 2 -f- m f' y d t 2 — o. 
(6) d d f mff d t 2 — m f^dt 2 -\- m 1 ’ f, f dt 2 
+ tu' f, f dt 2 - f- m f' ^d ti — o. 
x ,y, {, font les co-ordonnées reélangîes dù corps m, 
x ’ î y ' ■> / > f° nt l es co-ordonnées reéfangles du 
corps m! rapportées au corps m " qu’on fuppofe im- 
mobile. 
/eft la puiffance — \ de la diftance entre m & m n , 
f' la puiffance — f de la diftance entre m & m 1 ’ . 
/, la puiffance - 1 de la diftance entre m’ 6 c nf & 
t eft le tems. 
L’on voit que le coefficient de dt % dans chaque 
équation repréfente la force qui produit le mouve- 
ment de chaque corps autour du corps m fl regardé 
comme immobile , 6 c qu’elle eft compofée de la force 
de chaque corps auquel on ajoute en fens contraire 
celles qui tendent à mouvoir le corps m 11 ; ainfi dans 
d’autres hypotheles on voit aifément ce qu’il fau- 
droit ajouter à ces termes. On voit aufli que fl l’on 
avoit un plus grand nombre de corps , on aurait un 
nombre d’équations femblables, égal à trois fois le 
nombre des corps mobiles. 
Solution des équations du problème, i°. Si l’on fait 
que l’orbite des corps m 6 c m' autour du corps m ® 
eft à-peu-près une ellipfe , on commencera par 
mettre dans les équations 1,2, 3, 4, 5, 6, au lieu 
des co-ordonnées , x,y, 2, x',y',Y, les co-or- 
données qu’on trouvera les plus commodes pour 
comparer la théorie à l’obfervation ; on fuppofera 
enfuite qu’on cherche la valeur de ces nouvelles co- 
ordonnées , foit en t , foit un angle que Ton puiffe 
obferver& que j’appelle T, fi l’on prend cet angle, 
on fera la fubftitution connue ( Voye{ Intégral.), 
pour que ce foit T, & non t, dont la différence foit 
confiante. 
z°. On fubftituera à la place de toutes les ordon- 
nées leurs valeurs prifes dans l’orbite elliptique , 
mais augmentées chacune d’une quantité AT, Y, Z , 
X', Y' , ou Z' . On éliminera par les méthodes con- 
nues, & en employant des différentiations fucceilî- 
ves, toutes les co-ordonnées du problème, enforte 
qu’il ne refte que fix équations rationnelles 6 c algé- 
briques en AT, Y, Z , X Y 1 , Z', leurs différences, 
6 c d T ou d t ; 6 c appliquant à ces équations la mé- 
thode développée art. Approximation, on aura 
X Y Z , X Y' Z' , en fériés , qui feront convergen- 
tes tant que l’orbite rigouretife ne s’éloignera point 
de l’orbite elliptique approchée. 
On voit qu’on aurait pu faire dîfparoître par la 
différentiation les maffes & les élémens de Forbiîe 
elliptique ; alors on aurait en X, Y, Z , X', T ' 9 Z ' 9 
par des fériés indépendantes de ces élémens ; ces 
fériés une fois trouvées , donneraient pour tous les 
cas du problème des trois corps , des équations fembla- 
bles , dont les argumens feraient invariables , & dont 
les coëfficiens feulement changeraient dans chaque 
cas particulier. 
Gn a vu à l’art, Approximation , dans ce SuppL 
