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Q U 
UADRAIN ou Quadrant, 
f. f. ( Monn, anc. ) quadrans 
en laîin, monnoie romaine, 
la quatrième partie de l’as, Sc 
la quarantième du dénier ro- 
main. Cette derniere piece 
évaluée à dix fols de notre 
monnoie , donne un îiard pour 
la valeur du qu airain ou quadrant. Plutarque nous 
apprend que le quadrain étoit la plus petite monnoie 
de cuivre chez les Romains , St que l’on donna à 
Clodia l’injurieux fobriquet de quadrantaria , pour 
déligner qu’elle mettoit fes faveurs au plus vil prix. 
Voyeq_ Quadrans , Di cl. raif des Sciences , & c. dont 
cet article-ci efl le fupplément, 
QUADRATURE, ( Calcul Intégral. ) Comme le 
problème des quadratures des courbes géométriques 
■dépend de la connoilfance de S X d x , X étant 
une fondion algébrique de x , on a appelié mé- 
thode des quadratures la méthode de trouver ces 
intégrales. Ainli l’on dit qu’une lblution dépend des 
quadratures , lorfqu’elle dépend de l’intégration de 
S Xd x : dénomination qui vient, je crois, de ce que 
les quadratures ont été la première application de 
cette partie de calcul intégral. 
Newton a donné les intégrales algébriques de plu- 
sieurs fonctions différentielles qui contenoient des 
radicaux ; foit par la méthode des fubftitutions , foit 
par celle des intégrations par parties. Voye ç les art. 
Substitutions & Parties , .ST/?/?/. Toutes les frac- 
tions rationnelles s’intégrent par une méthode donnée 
par Jean Bernoulli , St perfectionnée par M. d’Alem- 
bert. Cette méthode confifle à prendre les fadeurs 
réels linéaires , ou imaginaires du fécond dégré du 
dénominateur de la fradion, à leur donner un nu- 
mérateur confiant ou du premier dégré , à fuppofer 
la fradion propofée égale à la fomme de ces fradions 
plus fimples ; ce qui détermine les coëfficiens des 
numérateurs. Si le dénominateur a plulieurs fadeurs 
égaux , comme x + a , alors il faut prendre les 
fradions fimples — XïrX ^r= 
r X y - a ) X -j- a 2 x y. a 
* + a n 
St les ajouter enfemble. Après ces opérations, on 
d X 
n’aura que des fradions —j^~ a , dont l’intégrale efl un 
logarithme ; , dont l’intégrale efl — 
X a n x-t-an ~ 1 
x4-f . , ' 1 
•yp ^_ ax j- ~ÿ s dont l’intégrale dépend du cercle. Cotes 
a intégré plufieufs fondions contenant des radicaux 
du fécond degré, & dont l’intégrale renferme des 
arcs du cercle ou des aires hyperboliques. 
Beaucoup d’autres quantités ont été intégrées ou 
rappellées à des arcs des fedions coniques, par Jean 
Bernoulli, par M. d’Alembert , par M. Euler: on 
les trouve prefque toutes réunies dans les traités de 
calcul intégral de M. de Bougainville, des PP. Jac- 
quier & Le Seur , & fur-tout de M. Euler. 
X peut être toujours fuppofé donné par une équa- 
tion algébrique du dégré m , ainli S X dx ne peut 
être algébrique fans être de la forme A B X - f 
& X 1 ,,.-\-PXm — i i A)B > C ym .,P ) étant algé- 
briques St rationnels ; ce qui les rendra toujours 
faciles à trouver par la méthode des coefficiens indé- 
terminés. 
Si on veut trouver l’intégrale de X d x , X conte- 
nant des radicaux ou étanrdonné par une équation 
du dégré m, on prendra ~ dx + 4 dx fondion 
n — i 
St 
Q U A 
rationnelle Sc différentielle exaCle de x Sc X, St on 
en déterminera les coefficiens en fuppofant qu’elle 
devienne Xdx y en mettant pour X m fa valeur, 
alors on n’aura à intégrer qu’une différentielle exade 
& rationnelle de deux variables ; quoique l’on 
puiffe fuppofer A , B , C d’un dégré tel que le 
nombre des équations entre les coefficiens foit 
moindre que celui de ces coëfficiens, cependant 
on ne peut pas en conclure que A , B , C foient 
toujours poffibles. 
On voit à Y article INTÉGRAL , que les intégra- 
tions fe réduifent toujours en dernier reffort à inté- 
grer des différentielles exades du premier ordre & 
de plufieurs variables. Soit donc une fondion A dx 
-\-B dy C d . . on l’intégrera d’abord par rap- 
port à x, c’efl à-dire , qu’on prendra S A dx , en ne 
regardant comme variable que la quantité x ; foit X 
cette intégrale , on la différentiera en faifant tout 
varier, on la retranchera.de la propofée, la diffé- 
rence fera B 1 d y C' d y, B‘ St C étant fan s 
x , on aura donc l’intégrale égale à X y~S B 1 d y -y 
C' d On prendra S B ' dy en ne regardant que y 
comme variable , appelant T cette intégrale, re- 
tranchant d Y de B ' dy C d ç , on aura pour refie 
C" d iC" ne contenant que { , & l’intégrale cherchée 
fera X+ Y S C " d Soit , par exemple , la diffé- 
rentielle exade, 
çy d x -J- £ x dy -j- xy d £ 
+ 1 + y 
+ l 
en fuivant la méthode ci-deffus, on trouvera X=s 
X J l , B ' = i , C ' = y + 1 , Y ~ ^ C " = i, St Fin- 
tégrale xy £ + { y -f ~~ N. 
Si j’ai à intégrer une différentielle exade Xdx + 
X contenant une fondion tranfeendante i dont la 
différence foitX 7 dx ou ^X' dx , X' efl algébri- 
que , je pourrai à la place de Xd x fuppofer une 
fondion A dx + B d^, telle que St que 
A -J- B X' — X ou A -j- B ^ X' — X , Si alors 
j’aurai à intégrer une fondion de deux variables, dif- 
férentielle, exade St algébrique ; mais j’ai démontré 
que l’on ne pouvoit pas dans tous les cas , quelque 
dégré qu on fuppolât aux A St aux B ci-deffus , par- 
venir à un point où la fomme des coëfficiens indé- 
terminés furpaffât celle des conditions , comme cela 
a lieu dans c es quadratures algébriques. On pourroit 
aufîi , ayant d y ~ X d ' x , éliminer la fondion tranf- 
eendante , & on auroit une équation différentielle 
du fécond ordre dont il fuffiroit de trouver une in- 
tégrale du premier ordre, puifqu’on a déjà = X , 
Ainfi quelque méthode qu’on choififfe , il y a tou- 
jours une fondion algébrique de deux variables à 
trouver par la méthode des coëfficiens indéterminés, 
St une fondion de deux variables à intégrer. 
Mais dans aucune des deux on n’efl fur de pou- 
voir trouver cette fondion en termes finis. Voyez 
les mémoires de 1771 , théorèmes fur les quadra- 
tures. 
Il y a plufieurs de cës intégrations qui peuvent 
fe réduire à une intégration plus fimple, en em- 
ployant la méthode des intégrations par parties. Ceîfe 
méthode a été employée par Newton ; elle confiffe, 
lorfqu’oii cherche S X d x , à égaler S X d x à X x 
~$xdX 3 SxdX a a âx — — ~j ~ , Sc ainfi de 
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