2 
SER 
-maniéré quelconque, on aura a -f- h x X a f + b' x 
i !l ' n b n x # g # . ■— e 2 ^ a ” 4 * ^ 
X a 
x : or , nous 
avons (art. Différences FINIES, Suppl.') a n + 
b f"*x=Sl (a w *-} r b / "nx)dn-^la" ,, »-\-b "" « x 
V ... s * .... i / 1 . 
dla"' n 
+ S 
d * 2 la 
III rj 
b n x 
, &c. 
dn ' dn 2 
, Si au lieu de cela on a a * & b " ,n données par 
des fondions & », & en « ü "[ 1 * H / * - * &c. en 
iiombre fini, on aura encore faifanî/tf ///7î ~\-b" ! n x — 
A $ 3 <j> par une équation aux différences finies entre 
® & n. 
On pourroit même fe difpenler de cette trans- 
formation en logarithmes, confervant en effet le 
numérateur & le dénominateur , & appellant <t> la 
valeur du produit de n — i termes , on auroit 
. ///„ , /// „ 
<î>-t-A<P a “ -f- o “ * . r , i • . / v 
~TüT 7 ~ s ce qui fe réduit îmmediate- 
<î> 
ment à des équations aux différences finies , & fion 
vouloit les avoir en fériés, on auroit ( Foye[ ci- 
deffus & 1 9 article Différences finies, Suppl.) 
f a"'*+b’"»x\ 
M I “ ~ j 
V i + c n x J 
+ 
à <I> 
dn 
f: 
dd$ 
d 3 <I> 
&C. 
2 d n 2 2 . 3 dn> "> 
î= o , équation qui refte à réfoudre en fériés. On voit 
donc que la fomûiation indéfinie de cette efpece de 
fériés dépend encore du calcul des différences finies. 
Si on cherche comment une équation en y & x a 
pu donner pour y cette valeur en produits infinis, 
on trouvera que , foit fait y — o, cette férié doit être 
le produit de toutes les racines de ce que devient 
alors cette équation en x &y. Il fuit de- là que dans 
l’état aduel de l’anaîyfe il n’y a que quelques cas 
particuliers où l’on ait le moyen d’avoir ces produits, 
de maniéré que chaque terme foit fous une forme 
finie. Voyez les Inftitutionsde M. Euler, déjà citées, 
La troifieme forme de fériés eft celle par les frac- 
tions continues. Voye i cet article dans ce Suppl. 
Si l’on cherche à réduire en fradion continue une 
fonction donnée par line équation , on fera d’abord 
y = - , on cherchera { fondion donnée fous la forme 
# 4 -Éx-î-CX 2 4 - a 3 .... ( n ) x n ... . & on aura 
y = 
a + lx+ex 2 + ex> + (n)x n . 
enfuite au lieu de cx a -j-ex 3 * * ... . & c. on prendra 
/ i V & ainfi de fuite. 
&C. J 
Maintenant je dois examiner le rapport qu’il y a 
entre la forme du terme général d’une férié & la fonc- 
tion génératrice. 
i°. Si le terme général eft pour un terme n de la 
forme (n m + an m ~ 1 .. .) */» + («' n m ' + b 1 n m '~\..) 
êf' n &c. 
La forme génératrice fera une férié dont le déno- 
minateur fera i — fx m + 1 X i—f'x ' m ’ +1 &c. 
& le numérateur dépendra des premiers termes de . 
la férié en nombre fini. 
2°. Si le terme général eft, l’appellant (rc)|pour un 
terme n , donné par une équation 
n m (n) -}- an— i :n (n — i ) -}- b n — 2 m (n ~ i),.., 
-f a 1 n— i m ~ 1 (n — i) -{-b 1 (n— x) n ~ 1 (n— i)...~o 
la fondion génératrice fera la valeur de y tirée de 
Bdy C d z y . Pd 
n — I 
y 
Q_ d n - 
dx n - 1 
l’équation V = A y + -~-)r -771+ 
ou D ~~ i -{- ax-\- b x 2 &C. P — a 1 -f- b 1 x-j-c 1 x 2 &c. 
& ainfi de fuite. 
Ainft , toutes les fois que l’équation en y & x fera 
algébrique , la jérie fera de cette forme; mais il n’eft 
pas vrai réciproquement que tant que le terme fera 
de cette forme la férié fera algébrique. 
Ainft, il reftera ces deux queftions à examiner; 
i®. fi le terme général d une fondion étant donné* 
il eft fufceptible de cette forme. 
SER 
4 0 . Si cette forme convient à une fondion algé- 
brique, on pourroit prendre encore pour les racines' 
des équations algébriques cette forme du terme vé- 
nérai , c’eft que l’on doit avoir 
+ (a-a).., 
( /z ) 2 + - 5 l/ ( ; 2 “i) 2 
+ A Ï (»)(«) . = o. 
les A étant fans n , cette équation eft linéaire, & 
A i B j , donnent le coefficient de y m dans l’équation 
en x Szy (y eft la fomme). Les A' B' &c. font les 
coëfSciens des puiffances de x dans le coefficient de 
y 2 , les A B les coëfficiens des puiffances de x dans 
le terme eny'(/z) 1 «,(») 2 &c. défignentle coefficient 
de x" dans y «y 2 . 
Mais jufqu’ici on n’a point de méthode générale de 
diftinguer, le terme général étant donné par uûe 
équation , fi on peut le rappeller à cette forme. 
Voyez les Infitutions de M. Euler, èk le premier 
volume de Y académie de Marine qui contient fur cette 
matière un favant mémoire de M. le chevalier de 
Marguerie. 
De la réduction des fonctions indéterminées en 
fériés. Soit l’équation y — x î- x x= o ; $x déft- 
gnant une fondion quelconque de x , & que je cher- 
che une valeur de ÿ*, autre fondion de x en y* 
j’aprai par le théorème de M. d’Alembert, 
. (JYy . d* Ÿy 
^x=^y+ — OX+ -pj-p 0»x 2 + &c. 
à y 
par le même théorème 
d§ y 
$ X— <t>y -j- 
d 2 y 
® ® + &C. 
dy ~ a 2 dy z 
doncfaifant $xh= ^y -\-B,Br=. — - ç y c , & 
ainfi de fuite ; j’ai , en ordonnant par rapport aux 
puiffances de $y & de fes différences, 
$ x = *y + 4yr + T^TT.T 
3 
2 dy 
Xl $ y 2 | 2 d $ y 
‘ X 3. d y 
3 d <î>y 4 
a. 3 .dy 
2 2 
x 3 $ y 3 
= ~+ 
i^-dy + icc. 
2. 3. 4 dy 2 
6 d 2 4 ' y 3 
&C. 
2-3 2 . 3 ■ 2 . 3 . 4 dy‘ 2 . 3 . 4 . 5 . dy 2 
fubftituant donc ces valeurs dans celle de ’F x,on 
aura, en ordonnant par rapport aux puifiances dé 
y y , $ y & de leurs différences , 
, ^ dVy , $y 2 di <Sry , *y 3 
V X== Vy+*y—+-- 7 - r —. 4 - 
2. 3 dy 3 
&C. 
<î> jy , 2. et. 4 > jyî 
efjy 
2. 3 dy dy 2 
d 2 $ y 3 d'i’ y 
+ 
2. 3 dyz dy 
& réduifant 
ÿ * = -ï-* + **-jX+ 4&c. 
2 
2,3 
formule dont la loi eft facile à faifir. 
Cette formule eft due à M. de la Grange. 
On voit que fi $ contient y, en regardant les y 
contenus dans $ comme conftans dans la fondion 
ci-defîus , on aura également la valeur de x. 
Si même on a y =. P -p $ 
£=zP’ 4- 
x = P" + $" 
les $ étant des fondions de x, y, & d’une qua- 
trième quantité , P 1 & P 11 étant des fondions de P 
& qu’on veuille avoir ■'Ex, y, £ en P, il eft clair qu’on 
aura par l’article précédent x,y, en -F- P, P 1 P u , 
& $ , $ ’ $ " ; mais on aura F en ^ P, P P 11 , & F , $ 1 
&; ainfi des deux autres , le premier terme de 
ces valeurs étant fans * , ‘ï’ 1 ou * 11 ; donc fubftituant 
perpétuellement les valeurs de ces fondions & or- 
donnant par rapport aux puiffances de ÿ PP 1 P'! 
on aura "F x , y, £ en P. 
Ce théorème peut être d’un grand ufage dans les 
