S I N 
lion en celle-ci, — dp \fi — i = 
iü 
V U 2 - I 
; faifant 
enfuite y/ a 2 - i = x_- w, je trouve - dp y /- 1 = 
^ ; d’où je tire s - ? 17 - ' = ( » + V a 1 - I ) , 
l/-i 
êc « — _y?/z. p ( 1 6) = 
IK-i 
du 
L’équation d<p=~— — — , donneroit , en fuivant 
2 i - t/i 
çK— I -T^-I 
e ~f" I 
le même procédé, la valeur de cof. p = — 
mais il eft plus fimple de l’obtenir cette valeur , en 
fubftituant dans y/ i — fin. 2 <p , celle de fin. ç> déjà 
trouvée. Cela pofé , 
( *l/~ _«»/-x 
— — - ~ — J 
( /3 \/~~i _ ^ 
— i -_) ■■= 
_____ J 
. . . =; -fin. (* -b /3)-f- ifin. ( rt-j 8 ). de même , /«. 
( ai/— i — fi' <*V—\ - «K-iN 
— fr— ) t J 
= ^/z/z. H - /3 ) — hfi n * 0 *—$) »donc _/T/z. («—h / 2 )— 
yi/ 2 . a cof. j 8 +_fin. fi cof. a. 
( * l/_ i %aK-l\ 
! i £ ) 
( pi/-x -fliZ-iX 
— ? > 
(^+ 5 )/-! („_£) i/-I -(«+^)V / _I 
| £ +s H- £ -f- £ 
0 
) 
= - cof. ( a + $ ) -f j cof. ( a. - fi ). Par un femblable 
( « |/ — X - a 
) 
2 -/-I J 
( &v-i — a x 
- — ~== ) = i c °f* * co ^’ > 
donc cof. ( a + fi ) = cof. et cof. /2 ^h //Z. a fin. fi &C. 
Il fera facile de trouver , par le moyen que nous 
venons de mettre en œuvre , toutes les autres for- 
mules de la théorie des finus. Ce détail eft trop cu- 
rieux , pour en dérober le plaifir à mes leéfeurs: mon 
but principal dans cet article , eft de donner une 
méthode fimple & dire&e pour fommer les fuites , 
dont les termes font des puifiances femblables de 
finus ou cofinus d’arcs qui forment une progrefiion 
arithmétique. 
III. Problème, I. Sommer la fuite S <= fin . et + fin m 
(* + £)+/«• (*+ij 8 ) + +fin. (et-f-(/z-i).ô) ? 
Solution. Je donne à_la fuite propofée cette 
forme , S = — -= ( t a,/_I -j- + 
t (“ + C«-I) / 2 )‘ /r f_ ê -«v /r ï_ e -C a + ^)' / - 1 — — 
^-(cd + («-!) a ) 17 ^ je remarque aufli-tôt que 
les exponantielles imaginaires pofitives fe fuccedent 
en progrefiion géométrique , ainfi que les négatives ; 
( (« + nfi)[/-l «1/-I — al/-X 
! — _Z_1 _l_ 1 
JV'-i-i ~ 
-(*+ ni g) i/T\ /■ *v-î -y-i { 
x A 
,-^^.1 y V - x V 
+ 
-(d-a)i/-x + v/-i 
-+- y -s 
Tome 1F« 
S I 
(“ + “ ( “+ fin. «.-fin. 
y 
— t- 
M-J&. («*-+"(«-!) c o f - ( g ~ T £ )_ 
2 ( 1 - cof. /2 ) 
-cof. j8 -i/3) JEb. (cc+-i‘ t(n-i)lè > )fin.{np 
zfm.rjî “■ - ^T|T ^ 
IV. //. Sommer la fuite 5 = cof. « + 
cof. ( a +/ 2 ) + cof. (a+M) + 
Cof. — ï)/3^ 
Solution. On trouvera par un calculfembîable au 
précédent S = 7 Ç& « V ~ 1 -f a C + . • ...•• + 
ê ( a *-4*(«-x) 18 ) i/-x _j_ g _«|/~ q_ ê _(«h-/3 ) v/ “ i + . . •+ 
t -(«-+ («- 1 ) /?) l/ZJ'j cof. « -cof. («H8)-+ cof. f^-4-C”- 1 ^)^ 
^ 2 . ( I - cof. ^ ) 
-cof.(«— f n/3) /«.(«-+. B g- LP)-fim.{« — cof- ( « 
2 fin. I /3 
—J- i (« — i) ^_/î/Z. I 
L& • - 
V. Problème III. Trouver la fomme de la férié 
*5" rzzfin . 2 et -} ~fin. 2 . • • -f- fin , 2 -J- (/ 2 ~ I ) » 
Solution. Puifque ( 1 ) T^/z. 2 ç = “ — j ^e 2 ^" 1 + 
6 2ïl/_I ^), il eft clair que ^ ~ ( ê2Kl/_I + 
g ( 2 «+ 2 ^)i/— _p. ,,q.ê( la+2 ( n - 1 )/ 2 ) l/:: î’q- e - 2 “ l/ - I q.' 
g -(2 «+2/2)i/I7q_ > . ,q- s ~( 2a + 2 («-i )£) ^-x ^ ~ 
/ x« Cof. (2 a +(/Z-l)/S)/«-»^ > \ 
W x -ï^ Kl >/ = 
■î 
nfin. 1 8 — cof. ) (è} fin. n$ 
zfin./è 
VI. Problème IV. Trouver lanfomme i 1 de la férié 
cof. 2 et + cof. 2 OH-Æ) +...+Cof. 2 ^et-f(72-l)/3^ > 
_ , . o n fin. fi + cof. f 2 * -t- ( n — I ) /3 )/«. n fi 
Solution. S — e 
2 fin. fi 
VU. Problème F. Quelle eft la fomme de la fuite 
S — fin.* a. -}- Jind^oL - • . » -f- fin . 5 ^a-|- (n — 
Solution. S = ( 
_j_ f ( a + (n-i)fi') V g “ « V - 1 ê - C«+^)l/-I 
... ..-r(“ + ( “- I ^) ,/=I ).:.- r; i=( iî ” ,/ri + 
e C 3 « -*- 3 Z 3 ) q_ ft (3«-»- 3(« — I )/ 3 ) __ 
g _3 “ e -(3 a+ 3 b) _ ê -(3 «+3 
/ \ /'/*» f a + i C n_I )P')f m - : k n F 
(5) •' A • y - 
C ^ 71 . ( a + il n_I )^)P n ^ n ^ > \ 
1 fin. ( 3 “ + J ( n ’X)^) -j- n fi "'X 
v y = 
)• 
4 v 1 0 
( 3 + ^ n -~ L )^) fin.\ n ^ fin-(} * + |(«-x)/®)/«. 2 
VIII . Problème FT. Quelle eft la fomme de la fuite 
5= C0f . 3 et -f- Cof . 3 (nt-J-/3) +... + C0f . 7 +(/Z—l)/3^ 
( 3 cof. ( * H- I ( n— 1)1®^ fin. Lnfi 
! i. 
fin. L fi ~ 
cof. ^ 3 a H- |- ( n— I ) fi ^ yz/î. 2. n fi 
fin. 1 fi 
) 
, &C. 
IX. Problème FII. Sommer la férié S — fin. et cof. 
«t -f- fin. (ct-f-|S) cof, -j- fin. 
cof. ^et -f ( n—l ) ? 
Solution. On changera ( 1 ) l’expreftion de cette fé- 
rié en celle-ci : 
r X= (V^-=T + S < — ^- + . ....... + 
g ^2 * H-2(h-I )fi) ^ -I j „ 2. « l/-j g - ( 2*+2 /3) l/~ ___ 
H H h h h i j 
