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Les angles pris entre des objets placés fur îe plan 
de celui qui obferve , ne font pas conformes à ceux 
qui feroient pris entre des objets plus élevés ou 
plus abaiffés , comme il eft facile de s’en convaincre; 
6 c les hauteurs 6 c abaiffemens des objets poüvant 
avoir differens rapports , foit entr’eux , foit avec 
l’obfervateur, il enréfuîte des principes de correc- 
tion differens qu’on peut réduire à quatre cas. 
i°. Si les deux objets font également élevés ou 
abaiffés , il faudra ajouter à l’angle obfervé pour 
avoir l’angle réduit au plan de l’obfervateur. 
z°. Si l’un des objets étant fur le même plan que 
l’ohfervateur , l’autre fe trouve au-deffus ou au- 
deffous , on retranchera de l’angle obfervé pour 
avoir l’angle réduit au plan. 
3°. Si l’un des objets eft au-deffus du plan 6 c l’autre 
au-deffous, il faut encore retrancher de l’angle ob- 
fervé pour avoir l’angle au plan. 
4 0 . Si les deux objets font au-deffus ou tous deux 
au-deffous du plan , mais d’une hauteur ou d’un 
abaiffemenl inégal , alors l’angle au plan pourra être 
égal à l’obfervé. Il pourra auffi être ou plus grand 
ou plus petit. 
Dans le premier Cas , on fait cette analogie. Le 
co (inus de la hauteur égale des objets obfervés , exprimés 
par F angle entre le fommet & labafe , ejl au rayon comme 
le (inus de la moitié de l'angle obfervé entre les deux ob- 
jets e/l au (inus de la moitié de F angle réduit . C’eff fur 
cette analogie 6 c pour en épargner îe calcul , qu’eft 
conftruite la table n°. y, pour chaque hauteur des 
objets de io en io minutes, depuis io ' jufqu’à 7 d , 
& pour tous les angles obfervés de 5 en 5 dégrés , 
depuis 4 & 5 d jufqu’à 95 d . La correction va jufqu’à 
56'' 36 u pour l’angle entre les objets de 95 d 6 c celui 
de leur hauteur de 7 d . 
Dans le fécond cas , on fait la proportion fnivante. 
Le cojinus de la hauteur de l'objet qui ejl au-deffus du 
plan , ejl au finus total comme le cojinus de l' angle ob- 
fervé ejl au cojinus de l'angle réduit. Elle a fervi pour 
le calcul de la fixieme table qui fuppofe la hauteur 
de l’objet de 1 d jufqu’à 4 d de ïo en 10 minutes , 6 c 
la valeur de l’angle obfervé de 2 d 3 o 5 d , 7 d 3 0 ', 
6 >C ainfi de fuite jufqu’à 90 e1 . On y trouve même 
auffi les corrections qui répondent à chaque dégré 
de l’angle obfervé , depuis 2 d jufqu’à 8 d . La correc- 
tion eft nulle quand cet angle eft de 90 d , mais elle 
eft nulle auffi dans pîiffieurs autres cas , c’eft-à-dire , 
toutes les fois que l’angle de la hauteur de l’objet 
eft égal à l’angle entre les objets; cela fait qu’on 
trouve dans la table , pour les angles de 4 d , une cor- 
rection nulle d’abord à côté de la plus grande cor- 
rection qui foit dans la table ; favoir, 2 d 51 ' 21 ”, 
pour l’angle entre les objets de 4 d & la hauteur de 
l’objet élevé de 3 d 50'. 
Pour le troifieme cas, foit e l’élévation de l’un 
des objets, a l’abaiffement de l’autre , c la fomme 
de ces deux quantités, d leur différence ; qu’on con- 
fidere que la ligne qui joint les objets , traverfe l’ho- 
rizon ou le plan de l’obfervateur dans un certain 
point & qu’on nomme « l’angle à l’obfervateur entre 
ce point 6 c l’objet élevé , 6 c a. l’angle entre le même 
point & l’objet abaiffé. Cela pofé , la folution du 
problème eft contenue dans l’analogie fuivante. 
Comme La fomme c ejl à la différence d , ainji la tan- 
gente de la moitié de la fomme des deux angles s & a 
( qui pris enfemble font égaux à F angle obfervé ) d la 
tangente de la moitié de leur différence. Mais pour for- 
mer cette analogie , la difficulté eft de connoitre le 
jufte rapport de la fomme c avec fa partie e , & avec 
la différence d qui eft entre la hauteur 6 c l’a bâille- 
ment , vu que toutes ces quantités font données en 
arcs de cercle; car de ce que la fomme c eft com- 
pofée de deux parties, favoir, e que nous fuppo- 
ferons d’un dégré ou de 60 minutes ou parties 6 c a 
Tome IV . 
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que nous fuppoferons de 30 minutes ôü parties > il 
ne faut pas conclure qu’en rapportant a & è à une. 
même ligne, la fomme epuiffe être regardée comme 
le finus de 1 d 30*; elle eft toujours plus grande. 
On doit donc comparer ces grandeurs l’une à 
l’autre , non comme des finus , mais comme dés 
grandeurs contenant chacune un certain nombre dè 
parties égales ( ce nombre fera celui des minutes 
que contient chaque grandeur ), & comme dans les 
angles très-aigus , tels que font ceux des abaiffemens 
ou des hauteurs qui vont rarement à deux dégrés , le 
finus de 60 1 peut être réputé donner une longueur 
double de celle que donne îe finus de 30 \ la fomme 
c peut dans la pratique être regardée comme com- 
ptée de trois parties égales à d , & l’analogie ci- 
deffus fera dans cet exemple. Comme la fomme c (90} 
ejt à la différence d (30) , ainji la tangente delà moitié 
de. I angle obfervé ejl d la tangente de la moitié de la 
différence qui ejl entre les angles t & a. Ces deux an- 
gles étant connus, on les réduira chacun féparément 
au plan , au moyen des analogies précédentes on 
des tables 6 6 c y, 6 c M. l’abbé de la Grive confeiiie 
de s en tenir a cette méthode dans la pratique. 
Cependant comme les quantités a, e qu’on de- 
vroit employer font proportionnelles proprement 
aux finus des petits arcs , par lefquelles on les ex- 
prime, 6 c non à ces arcs même, l’auteur , pour ne 
pas laiffer à defirer des principes plus exacts, indi- 
que la maniéré de reftifier cette méthode , 6 c voilà 
ce qui l’a conduit à la conftrudion des tables 3 , 4 & 5. 
On fait que les finus qui s’alongent à mefüre que 
les angles grandiffent , n’augmentent pas avec égalité 
6 c par gradation arithmétique. Le finus de 2 d n’eft 
pas double du finus de 1 d , & le finus de 3 d n’eft pas 
le triple. Si, par exemple , le finus de i d donne 300 
parties, le finus de i d n’en donnera pas 600; il 
n’aura pour logarithme que 27780851, au lieu que 
le logarithme de 600 eft 27781513 ; la différence 
entre ces deux logarithmes eft 661. Si le finus de i d 
donne 300 , celui de 3 d ne donnera pas 900. Le lo- 
garithme du finus de 3 d par 300 ou dû produit, fera 
leulement de 24540662, tandis que le logarithme 
de 900 eft 24542425 ; la différence entre ces deux 
logarithmes eft 1763, & fauteur fait voir par des 
exemples, que les réfultats pour ies différences des 
logarithmes feroient les mêmes, fi on prenoit pour 
le finus de 1 d quelqu’autre valeur que 300, comme 
800 , ou 400 ou 500. 
Si au contraire de ce qui vient d’être (uppofé , le 
finus de 2 d donne 3 00 , le finus de 1 d donnera plus 
que la moitié 150, fon logarithme excédera de 66 1 
celui dii nombre 150» Si donc du grand finus 2 d on 
conclut au petit i d , il faudra retrancher 661 du lo- 
garithme du produit de 300 par finus 2 d , pour avoir 
la jufte moitié de 300, 6 c au contraire fi du petit 
finus i d on conclut au grand i d , on ajoutera 66 1 
au logarithme du produit, pour avoir jufte le dou- 
ble de 300. 
D’un côté donc, quelque valeur que l’on donne 
aux finus , le refuîtat aes différences eft toujours le 
même , de 1 d à 2 d qui eft le double , ou de 2 d à i 
qui eft la moitié. 11 eft encore le même de i d à 3 
que de 3 d à i,& le même de 30' à 2 d que 2^30'. 
Mais d un autre côté, fi l’on compare le finus de 2 d 
avec le finus de 1 d qui eft fa moitié, ou avec îe finus 
de 40 qui n’en font que le tiers, ou avec le finus de 
30 qui n’en font que le quart, les différences 66 1 , 
7^3 5 827 entre les logarithmes ne font pas les 
mêmes , elles varient fui vant les difparités des angles 
que l’on compare , 6 c c’eft ce qui a donne lieu à la 
troifieme table où toutes ces différences font indi- 
quées. Elle eft calculée pour tous les angles des 
hauteurs de 5 en 5 minutes , depuis 5 ' jufqu’à 3 d 25 
6 c les angles des abaifiemens 9 que l’on peutcomparef 
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