BIBLIOGRAPHIE. 
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On doit rattacher à la leçon IX et à la théorie des déterminants, la 
leçon XXVI et la note D. La leçon XXVI est intitnlée : Les formes 
quadratiques^ et contient la théorie de la transformation des expressions 
du second degré à n variables en une somme de n carrés de fonctions 
du premier degré, ou en un nombre moindre de carrés. La note D est 
le complément naturel de cette leçon : l’auteur y démontre la célèbre 
LOI d’inertie des signes due à Sylvester : Si une forme quadratique 
à coefficients réels a été décomposée^ de deux manières différentes^ en 
carrés de fonctions linéaires indépendantes^ il y a, dans rime et 
Vautr'e de ces décompositions^ le même nombre de carrés affectés du 
signe plus, et le même nombre de carrés affectés du signe moins. Les 
démonstrations de l’auteur nous ont paru simples et rigoureuses. 
4. Incommensurables^ imaginaires^ équations du second degré 
(Leçons X-XIV, note E). La notion des nombres incommensurables est 
incontestablement la plus abstraite de l’arithmétique. L’auteur dit, en 
note, page 114 : « Nous supposons ici, pour ne pas insister davan- 
tage sur ces idées élémentaires, que les notions de limite, l’axiome 
fondamental (une quantité toujours croissante ou toujours décrois- 
sante, a une limite, ou croît, en valeur absolue, au delà de tout nombre 
assigné d’avance) et les principes relatifs aux limites ont été dévelop- 
pés dans le cours d’arithmétique. » Malgré cela, M. de Longchamps 
essaie, en tête de ce chapitre (n^* 114), de donner la définition du 
nombre incommensurable, sans recourir à une représentation géo- 
métrique. Il nous semble que l’axiome fondamental rappelé plus 
haut suppose déjà connue cette définition, et il y a ici, au fond, un 
cercle vicieux. De plus, en décomposant — y”, où x et y sont 
incommensurables, en deux facteurs, on suppose connues déjà les règles 
du calcul des quantités de ce genre. Selon nous, voici comment on 
m 
doit définir i/A, si A n’est pas une puissance d’un nombre 
entier ou d’une fraction. Des nombres commensurables, les uns a ont 
une puissance m"''”® inférieure à A, les autres une puissance 
supérieure; on exprime cela, d’une manière abrégée, en disant qu’il 
m 
y a un nombre incommensurable t/A qui sépare les des |3, est plus 
grand que les premiers, plus petit que les seconds, etc. (1). On doit 
ensuite définir la somme, le produit, le quotient, etc., de nombres in- 
commensurables. L’introduction de ces définitions précises entraînerait 
(I) C’est d’ailleurs, au fond, ce que M de Longchamps dit 'plus loin, 
page 252, en bas : « Dans ces conditions, les nombres a et fi ont une limite 
commune, que l’on peut imaginer. » 
