BIBLIOGRAPHIE. 
565 
nues et une étude très bien faite de la fonction exponentielle, au point 
de vue de la continuité. M. de Longctiamps ne laisse pas de côté 
(comme s’il était évident, ainsi que semblent le croire beaucoup d’au- 
teurs), mais démontre rigoureusement le beau théorème de Cauchy : 
Une fonction fx continue (c’est-à-dire telle que f(x + h) — fx ait 
pour limite zéro en même temps que h) entre deux valeurs Xq et X, 
passe par toutes les valeurs intermédiaires entre [Xq et f\. A propos 
de l’exponentielle, il fait remarquer avec raison qu’au moyen du 
binôme seul, sans emploi de série, on peut établir que la limite de 
{a-'-' : x) pour X — cc est infinie. 
La leçon XIX peut être simplifiée et rendue plus rigoureuse en un 
endroit. A la page 259, ligne 10, l’auteur admet, sans preuve, qu’une 
certaine quantité 0, et, par suite (1 + a limite pour ni = x, . 
Or, il est facile de prouver directement que (1+")"*^ une limite. En 
eflét : l^le nombre des termes de ( 1 + ^)'” croit sans cesse. 2° Un 
terme de rang déterminé à partir du troisième va en croissant. Une 
fois l’existence de la limite établie, on trouve 
( 1 ) Tl + = + + +711^(1 + , 7 )’ 
\ wz 1 1.2 P 
en comparant les termes après le p‘^”‘^ à ceux d’une progression de 
raison — — . Au 11 ° 247, on peut simplifier aussi la recherche de la 
]! + 1 
limite de (1+|)™ en mettant sous l’une ou l’autre des deux 
formes 
X x^ 
xP 
xP 0 
X Æ- 
e^=i+-+ — +... +- 
1 1.2 1 . 2 ...;? 
IX \ 
i+—r,) , O70<.i 
, O<0<1 
p + i 
selon que x est négatif ou positif, pourvu que x^ <, (w+ 1)^. Dans le 
second cas, on compare encore le développement de (1 avec 
apprenons à l’instant que la question générale ne fait pas partie du pro- 
gramme de l'École polytechnique). 
