BIBLIOGRAPHIE. 567 
l’on peut faire disparaître en modifiant tout au plus deux ou trois 
pages du volume. 
1° Lorsque la dérivée d’une fonction est constamment mdle^ cette 
fonction est constante (n® ‘290). Le défaut de la démonstration de 
Lagrange, donnée ici, a été signalé depuis longtemps par Weierstrass 
et tout récemment encore par M. G. Peano dans les Nouvelles Annales 
de Mathématiques ^iAnv\ei\ 1884 ; 3® série, t. III, p. 45-47 (comparez 
pp. 153-155 et 252-256.) ISous avons publié une démonstration 
directe de ce théorème dans le rapport de 1 876 de l’Association anglaise 
pour l’avancement des sciences. On peut d’ailleurs le déduire du 
théorème de Lagrange (n® 295) : f (Xo + h) — fx^—h f [Xo+ h). 
Si f' (x) = 0 pour toute valeur de x, le second membre est nul et par 
suite f(Xo + h)—fxo. 
2° Théorème de Rolle i294). La démonstration, au fond, est 
bonne, mais on ne doit pas s’appuyer sur le n°290 : a) Si l’on avait f'x 
constamment nulle, il est clair que le théorème serait démontré. La 
fonction dérivée peut être infinie pour les valeurs extrêmes de la 
variable. 7) La fonction dérivée peut être infinie entre les limites 
extrêmes, pourvu qu’elle ne saute pas brusquement d’une valeur -f- 00 
à une valeur — ao. La représentation géométrique met la chose en 
évidence : il suffit de remplacer la considération de la dérivée par 
celle de l’angle de la tangente avec l’axe des x. 7) Si on le veut, au 
lieu de supposer la dérivée continue, on peut supposer qu’elle soit 
unique pour chaque valeur de x (Démonstration d’Ossian Bonnet ^ 
voir Serret, Calcul différentiel.) 
30 La démonstration de la règle de la dérivation des fonctions com- 
posées est inutile., puisque l’on peut trouver la dérivée de toutes 
les fonctions composées élémentaires d’après des règles antérieures : 
non rigoureuse., à moins que l’on ne suppose que (m, v) ou 
/'5 (M, u) est une fonction continue des deux variables m, i;, comme 
l’a remarqué Thomae. Or, la définition d’une fonction continue de 
deux variables ne se confond pas avec la définition de la continuité 
pour chaque variable en particulier. Il y a des fonctions de m et de 
continues par rapport à m et par rapport à t’, qui ne le sont pas par 
rapport ku &tv simultanément. 
4® Dérivée des fonctio7is implicites {\N 302). Au fond, on suppose 
y fonction continue de æ, et de plus © (æ, y) vérifiant les conditions 
d’existence de la formule de dérivation des fonctions composées. 
5® Théorème de Lagrange (296); conséquence théorème 
de Cauchy (298). Au point de vue didactique, il aurait mieux valu 
