BIBLIOGRAPHIE. 
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est de degré ?i= en m, et contient entre autres termes, 
M» ; la fonction est de degré (n — l)en u. L’éliminant des équations 
9 (m,i/) = 0 , ip (m, y) = 0 est une équation en i/, dont le terme de 
degré le plus élevé en y est S de sorte qu’elle est de parité 
k — 1. Elle a donc au moins une racine ijo- Si ijo annule identique- 
ment 'I (n, î/), l’équation en n, f {yo + z) = Q^ (m, i/o)= 0 , de degré 
71 et de parité {k — 1), a une racine a ; donc cp (zt, y^) est divisible 
par U — a, ou f (i/o + ^) Pài’ — «r» ou f (x) par (x — ?/o)^ — a. 
Si yo n’annule pas identiquement (p («,?/), les fonctions 9 (tt, yg)^ 
tp (m, yg) ont un facteur commun en m, qui divise aussi f {yg+z)= 
9 (m, yg)+Z'h (m, z/o). Par conséquent, f (yg+z) est décomposable 
en deux facteurs et fx aussi. Soit fx=j^xx ttx, t.x étant de degré p = 
J. de degré q—h. '2% J et L étant impairs. On aura 
m=p + q^ L'2*=J.^'-|-L.'2". 
On ne peut supposer r et s supérieurs à k tous deux, ni égaux à A:, 
car on ne peut avoir I=J-)-L ; donc on peut supposer ?’ égal ou infé- 
rieur à k, mais alors r.x =0 a une i-acine. Donc aussi nx. yx=0 ou 
fx=0. 
Telle est l’analyse de cette démonstration remarquable ; l’idée pre- 
mière est la même que celle de la seconde démonstration de Gauss et 
des essais antérieurs d’Euler, de Foncenex,de Lagrange et deLaplace : 
Faire dépendre la 7’ésolution des équations de degi'é j)air^ en deniière 
analyse^ de celle des équations de degré ùnjjair. M. de Longchamps a 
eu le mérite de l’introduire le premier dans l’enseignement, d’où elle 
bannira la démonstration d’Argand, encore bien imparfaite sous la 
forme que lui a donnée Cauchy. 
La fin de la leçon XXVII est consacrée aux conséquences immé- 
diates du théorème fondamental. Il nous semble que le n“ 360 devrait 
être rapproché du n° 354. . 
2. A7ialyse du l'este de l’ouvrage. La leçon XXYIII contient : 1° les 
principes de substitution qui devraient être reportés en tête de la leçon 
précédente (n°® 365-367) ou à la fin (n°® 368-369) ; *2° quelques 
remarques sur les variatio7is de signe, à rapprocher du théorème de 
Descartes (n°® 370-37Ü); 3“enfin la théorie des fonctions symétriques. 
Il est inutile, pour le calcul de celles-ci, de supposer les coefficients 
réels comme l’auteur le dit (n° 364, 3®). On devrait réunir à la théorie 
des fonctions symétriques, les n°® 389-39'2 (méthode d’élimination 
fondée sur cette théorie). 
Leçon XXX (*2® partie). Théoiie des racines égales. Les conditions 
