BIBLIOGRAPHIE. 23g 
Des lignes tracées sur les surfaces. — i vol. in-8° de 522 pages. 
— Paris, Gauthier-Villars et fils, 1889. 
Nous avons rendu compte ici (1) de la première partie de cet 
ouvrage dont la publication constituait, disions-nous un véri- 
table événement dans la science. Sa deuxième partie n'avait pas 
encore paru que déjà il avait conquis sa place parmi les œuvres 
magistrales où les mathématiciens vont puiser les principes les 
plus élevés de la science. Nous le voyons à chaque instant citer 
dans les principaux recueils scientifiques ; il a provoqué nombre 
de travaux remarquables ; c’est là le caractère d’un livre de 
premier ordre. 
Le cadre de M. Darboux embrasse à la fois les développements 
d’analyse les plus importants qui intéressent les grandes appli- 
cations de cette science à la géométrie, et ces applications elles- 
mêmes. 
Dans la deuxième partie, qui nous occupe aujourd’hui, il 
s’attache d’abord aux congruences prises en premier lieu dans 
toute leur généralité, puis en supposant que leurs éléments 
soient des droites. On est tout surpris de l’aisance avec laquelle 
l’auteur établit les propriétés fondamentales de ces êtres géomé- 
triques et principalement leurs propriétés focales. L’étude de 
l’enchaînement des surfaces sur lesquelles on connaît un système 
conjugué le conduit, par voie géométrique, à l’importante 
méthode de transformation des équations linéaires aux dérivées 
partielles du second ordre, qui est due à Laplace et dont le rôle 
est fondamental dans l’étude d’un grand nombre de questions 
géométriques. Aussi M. Darboux consacre-t-il tout un chapitre 
à cette méthode à propos de laquelle s’introduit la notion de 
certains invariants spéciaux dont l’auteur tire le parti le plus 
fécond. Cette théorie de la suite de Laplace est, sous la plume 
de M. Darboux, d’une élégance achevée. Il en fait l’application 
à une équation qui a successivement fixé l’attention d’Euler et 
de Poisson et qui a fait l’objet d’un travail très remarquable de 
la part de M. Appell. La méthode proposée par Poisson pour 
l’intégration de cette équation laisse subsister un doute. L’inté- 
grale générale obtenue renferme deux fonctions arbitraires, mais 
bien qu’il s’agisse d’une équation aux dérivées partielles du 
second ordre, rien ne permet d’affirmer qu’elle donnera toutes les 
intégrales de l’équation proposée. Cette difficulté, M. Darboux 
(1) Livraison d'octobre 1887, p. 595. 
