BIBLIOGRAPHIE. 
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qui en résultent entre les surfaces, notamment à celui qui a été 
envisagé par Steiner et qui comprend comme cas particulier la 
représentation sphérique de Gauss. A cet ordre de questions, 
M. Darboux rattache encore le problème de M. Christoffel qui 
consiste à rechercher tous les cas dans lesquels la correspon- 
dance par plans tangents parallèles établie entre deux surfaces 
peut donner un tracé géographique de l'une sur l’autre. La 
méthode par laquelle il le résout donne à la fois toutes les solu- 
tions; celles-ci comprennent les surfaces homothétiques, les sur- 
faces minima et les surfaces à lignes de courbure isothermes 
que M. Darboux appelle plus simplement des surfaces isother- 
miques. C’est cette dernière solution qui est la plus intéressante ; 
elle corrfprend en particulier les surfaces à courbure moyenne 
constante, comme l’a fait voir M. Bonnet. M. Weingarten a fait 
connaître une équation aux dérivées partielles du quatrième 
ordre qui caractérise les surfaces isothermiques. M. Darboux 
établit ce résultat de deux manières différentes fort élégantes. 
On rencontre à propos de ces surfaces un très heureux emploi 
des coordonnées pentasphériques. 
L’auteur passe ensuite à l’étude des congruences dont les 
courbes constitutives sont les trajectoires orthogonales d’une 
famille de surfaces. Le problème traité d’abord dans toute sa 
généralité est ensuite spécialisé par M. Darboux pour le cas des 
congruences de droites auquel s’attache un si haut intérêt en 
raison des applications qu’il trouve en optique géométrique. Les 
propositions relatives à ce cas particulier sont d’abord déduites 
par l’auteur de celles qui se rapportent au cas général, puis elles 
se trouvent établies par une méthode directe des plus élégantes. 
Au plaisir de suivre la belle analyse de M. Darboux se joint 
pour le lecteur celui de rencontrer les remarquables proposi- 
tions dont cette partie de la science a été enrichie par Malus, 
Dupin, M. Ribaucour, etc... L’auteur est ainsi amené à envisager 
les surfaces dont les plans principaux sont conjugués par 
rapport à une surface du second degré (S), et pour lesquelles 
M. Ribaucour a donné ce beau théorème : Les normales à une 
telle surface en tous les points d’unefde ses lignes de courbure 
forment une développable circonscrite à une surface du second 
degré homofoccde à (S). 
Elles touchent d’ailleurs celle-ci le long d'une de ses lignes géo- 
désiques. L’auteur donne encore une autre solution du problème 
qui l’occupe, en se basant sur les importants résultats que la 
théorie des quadriques homofocales doit à Jacobi et à Liouville. 
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