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M. Darboux applique ensuite les propriétés des équations 
linéaires du second ordre dont il s’est servi pour les congruences 
de droites aux congruences de cercles dont la considération 
l'amène aux remarquables systèmes triples orthogonaux décou- 
verts par M. Ribaucour qui leur a donné le nom de systèmes 
cycliques , et dont le rôle est des plus importants dans la théorie 
des surfaces à courbure constante. 
Le livre V a pour titre : Des lignes tracées sur les surfaces. 
M. Darboux commence par établir, en s’appuyant sur la consi- 
dération du déplacement d’un trièdre trirectangle dont le som- 
met reste sur la surface, une de ses arêtes étant normale à celle- 
ci, les formules fondamentales relatives aux courbes tracées sur 
une surface, notamment les belles formules dues à Laguerre et 
à M. Bonnet. Il consacre un chapitre spécial aux célèbres for- 
mules de M. Codazzi sur l'importance desquelles il est inutile 
d'insister, depuis les admirables travaux de M. Bonnet sur ce 
sujet, et auxquelles il donne une forme symétrique fort remar- 
quable; puis il entame les applications des formules générales 
par l’étude de la courbure normale et de la torsion géodésique, 
où il prend comme point de départ la formule connue de 
M. Bonnet. Il démontre successivement les beaux résultats dus 
à MM. Bonnet, Bertrand, Laguerre, Beltrami, Enneper... 
M. Darboux s’étend ensuite très en détail sur les lignes géodé- 
siques pour lesquelles il développe les méthodes de Gauss. Après 
les avoir définies par la propriété du plan osculateur, ce qui 
revient à les considérer comme les trajectoires d’un point se 
mouvant sur la surface sans être soumis à l’action d’aucune 
force, l’auteur établit les propriétés dont elles jouissent relati- 
vement à l’orthogonalité et au minimum. Puis, passant au cas 
où existerait une fonction de force, il applique la même méthode 
aux problèmes de mécanique qui en résultent, d’abord dans le 
plan, puis dans l’espace. Il l’étend même au problème le plus 
général de la mécanique et fait ainsi ressortir l’importance géo- 
métrique des belles découvertes de -Jacobi. 
Ces quatre derniers chapitres, traités de main de maître, con- 
stituent, à notre sens, un des plus beaux morceaux dont la litté- 
rature mathématique se soit enrichie en ces derniers temps, et 
on ne sait, après les avoir lus, qu’admirer le plus chez M. Dar- 
boux, de la vaste érudition ou de la puissance de pénétration et 
de coordination. Ces qualités se retrouvent d'ailleurs d’un bout 
à l'autre de l’ouvrage. L'auteur n'aborde pas une question sans 
aller en toucher le fond et en faire sortir tout ce qu’elle peut 
