246 REVUE DES QUESTIONS SCIENTIFIQUES. 
biographique à laquelle nous avons emprunté les indications 
données plus haut, par la liste des communications de Borchardt 
à l'Académie des sciencesde Berlin, enfin par diverses remarques 
fort intéressantes faites à l'occasion des Mémoires de Borchardt 
par M. Hettner et fournissant sur plusieurs d’entre eux de très 
utiles éclaircissements. 
Une grande partie des travaux de Borchardt se rapportent à 
l’application de la théorie des déterminants à des recherches 
algébriques. Un des plus brillants résultats qu’il ait rencontrés 
dans cette voie est celui qui a trait à l’équation à l’aide de 
laquelle on détermine les inégalités séculaires du mouvement 
des planètes (1). On sait que cette équation généralise, par sa 
forme, pour un degré quelconque, l’équation dont dépend la 
détermination des axes principaux d’une surface du second 
ordre douée de centre, équation qui est du troisième degré. 
Ruminer avait réussi à mettre les discriminants de celle-ci sous 
forme d’une somme de sept carrés. Borchardt, par une élégante 
analyse, atteint directement à la généralisation de ce beau résul- 
tat, pour l’équation de degré quelconque. Il arrive, grâce à la 
théorie des déterminants, à exprimer non seulement les discri- 
minants, mais l’ensemble des fonctions de Sturm, sous forme de 
sommes de carrés de fonctions entières et rationnelles des coef- 
ficients de l’équation. Joachimstahl, Brioschi, Serret (qui a 
reproduit l’élégante analyse de Borchardt dans son Algèbre 
supérieure) ont admis cette décomposition en carrés des fonc- 
tions de Sturm comme une preuve suffisante de la réalité des 
racines de l’équation. Mais, comme l’éditeur en fait mention à la 
fin du volume, M. Kronecker a fait observer dans les comptes 
rendus de l’Académie des sciences de Berlin, que la réalité des 
racines réclame non seulement que tous les termes de la série 
de Sturm ne soient pas négatifs, mais qu'ils soient bien réel- 
lement positifs. Toutefois, il y a lieu de remarquer que Borchardt 
n’avait pas en vue d’établir cette réalité des racines, mais bien 
de décomposer les fonctions de Sturm en sommes de carrés. 
Une autre application faite par Borchardt de la théorie des 
déterminants concerne les fonctions symétriques (2). On savait 
depuis longtemps obtenir les sommes des puissances semblables 
des racines d’une équation comme coefficients du dévelop- 
pement de la dérivée du logarithme du premier membre de 
(1) Journal de Crelle (1846); Journal de LAouville (1847). 
(2) Académie de Berlin (1855); Journal de Borchardt (1857). 
