BIBLIOGRAPHIE. 
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l'équation. Borchardt est parvenu à indiquer une méthode simi- 
laire pour le cas où il s’agit de toute fonction symétrique des 
racines, obtenue par permutation des indices dans un produit 
de puissances entières de ces racines. Sa méthode repose sur la 
décomposition en deux facteurs de certain déterminant. 
Il résulte du problème de l’inversion des intégralesabéliennes, 
tel qu’il a été traité par Jacobi, que toute fonction entière, symé- 
trique et rationnelle de n quantités est représentable par une 
fonction rationnelle (mais généralement non entière) des n pre- 
mières sommes de puissances à indice impair de ces n quantités. 
Borchardt, que cette remarque avait frappé, a réussi à l’établir 
par une voie purement algébrique (1). 
La théorie de l’élimination devait nécessairement fixer l’atten- 
tion de Borchardt au cours de ses investigations algébriques. Il 
lui a fait faire plusieurs sensibles progrès. C’est ainsi qu’il a 
généralisé la méthode de Rosenhain pour la formation de la 
résultante de deux équations de degré », en supposant les pre- 
miers membres de celles-ci définis interpolairement par leurs 
valeurs pour n + 1 arguments mis à la place de la variable (2). 
Borchardt a également montré, par une transformation directe, 
l’identité des résultantes d’élimination fournies par la méthode 
d’Euler et par celle de Bczout ( 3 ). 
Il a fait connaître une remarquable extension de la formule 
d’interpolation de Lagrange (4) pour le cas de plusieurs fonctions 
des mêmes variables indépendantes. 
La formule qu’il obtient conduit, lorsqu’on la particularise, à 
nombre d’importants résultats qui se rapportent aux fonctions 
fractionnaires rationnelles, à leur développement en fractions 
continues et à l’interpolation des fonctions entières par la 
méthode des moindres carrés, lorsqu’on donne pour celles-ci un 
nombre suffisant de valeurs, sujet qui a successivement attiré 
l’attention de M. Tchebichef et de M. Hermite. 
Borchardt a fait usage de cette formule, au cours de recherches 
plus récentes ( 5 ), pour mettre sous forme de déterminants les 
fonctions dont l’évanouissement identique donne la condition 
nécessaire et suffisante à l’existence d’un facteur commun de 
degré donné entre deux fonctions entières et rationnelles, et qui 
(1) Académie de Berlin (1857). 
c2) Académie de Berlin (1859) ; Journal de Borchardt (1860). 
(3) Journal de Borchardt (1860). 
(4) Académie de Berlin (1860). 
(5) Académie de Berlin (1878). 
