BIBLIOGRAPHIE. 
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certaine recherche de son maître, Jacobi. Dans une Note du 
Journal de Crelle (vol. 7), l'illustre géomètre de Kônigsberg 
donne sans démonstration des formules pour développer en 
fraction continue la racine carrée d’un polynôme du quatrième 
degré, formules qui montrent la connexité qui existe entre ce 
développement en fraction continue et la multiplication des 
fonctions elliptiques. Borchardt a non seulement donné (1) la 
démonstration de ces formules, mais encore a su les généraliser 
pour le cas d’une fonction entière et rationnelle de degré quel- 
conque, et, en s’appuyant sur le théorème d’Abel, a fait ressortir 
le lien qui existe entre le développement en fraction continue de 
la racine carrée d’une telle fonction et la multiplication des trans- 
cendantes abéliennes. C'est là une très remarquable générali- 
sation. 
Borchardt s’est tout particulièrement occupé de la moyenne 
arithmético-géométrique de deux éléments (2) qu’il définit au 
moyen d’une équation fonctionnelle. Il ramène 'la résolution de 
celle-ci à l’intégration d’une équation différentielle linéaire du 
second ordre, qui n’est autre que celle qui admet pour solution 
l’intégrale elliptique complète de première espèce. Borchardt a 
su tirer un très heureux parti de ce rapprochement. 
Dès ses premières recherches dans cette voie, il avait eu l’idée 
d’étendre la notion de la moyenne arithmético-géométrique de 
deux à quatre éléments, et il avait reconnu l’existence d’une 
limite indépendante de l’ordre dans lequel étaient pris les 
éléments. Mais ce ne fut que dix-huit années plus tard qu’il 
parvint à l’expression de cette limite par une intégrale hyperel- 
liptique, résultat d’une importance capitale ( 3 ). Il publia, en 
France, une partie de ses recherches sur ce sujet (4). 
Il donna également au recueil mathématique publié in memo- 
riam Domini Chelini, une Note où il étudie un algorithme ana- 
logue à celui de la moyenne arithmético-géométrique, mais qui 
se rattache cette fois aux fonctions circulaires. L’éditeur montre, 
dans les Notes finales, comment la détermination de cet algo- 
rithme se fait très simplement par l’emploi de la géométrie. 
Nous ne trouvons, dans l’œuvre de Borchardt, que deux 
Mémoires d’essence géométrique, ne se rattachant pas à ses 
travaux algébriques. 
(1) Journal de Crelle (1851). 
(2) Académie de Berlin (1858); Journal de Borchardt { 1861). 
l3) Académie de Berlin (1876). 
(4) Société mathématique (1878-79); Académie des sciences (1879). 
