BIBLIOGRAPHIE. 
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La COINC1DENZA DEI DUE METODI D’APPROSSIMAZIONE DI NEWTON E 
Lagrange, nette radici quadrate irrazionali dei numeri inter i, per 
B. Carrara ; in-8° de 3o pages. — Torino, Paravia, 1 88g. 
I. La méthode de Lagrange pour trouver la racine carrée d’un 
nombre consiste à développer cette racine en fraction continue 
périodique. Si l’on cherche les réduites de cette fraction continue 
correspondant respectivement à l’avant-dernier quotient incom- 
plet de la première et de la seconde période, on trouve qu’elles 
sont liées par une relation remarquable : Le double de la seconde 
est égal à la première augmentée du quotient du nombre donné 
par la première. Ce théorème a été démontré par Serret, en 
1847, dans le Journal de Liouville. 
L’opuscule de M. Carrara en contient la généralisation. La 
réduite correspondant à l’avant-dernier quotient d'un nombre 
quelconque de périodes, et celle qui correspond à l’avant-dernier 
quotient incomplet d’un nombre double de périodes, jouissent 
aussi de la propriété énoncée plus haut : la seconde est la 
moyenne arithmétique de la première et du quotient du nombre 
donné par la première. 
Cette propriété permet évidemment de calculer avec une 
extrême rapidité des valeurs de plus en plus approchées de la 
racine carrée du nombre donné. 
IL L’auteur donne le nom de méthode de Newton au procédé 
suivant d’extraction de la racine carrée d’un nombre. On décom- 
pose le nombre en un produit de deux facteurs (entiers ou frac- 
tionnaires). La moyenne arithmétique de ces facteurs est une 
première valeur approchée de la racine (par excès) ; le quotient 
du nombre donné par cette valeur (ou la moyenne harmonique 
des deux facteurs) est aussi une valeur approchée de la racine, 
mais par défaut. En opérant sur les deux moyennes obtenues 
comme sur les deux premiers facteurs, on en trouve deux nou- 
velles, plus approchées de la racine, et ainsi de suite. 
D’après cette définition de la méthode de Newton, on peut 
évidemment dire que la méthode de Lagrange coïncide avec 
celle de Newton appliquée à une certaine valeur approchée de 
la racine, savoir, la réduite correspondant à l’avant-dernier quo- 
tient incomplet d’une période quelconque. C’est là le théorème 
de M. Carrara. 
